两个整数的和、平方和、立方和都是完全平方数

wayne

两个整数a,b的和、平方和、立方和都是完全平方数，这两个整数为多少,先给几组.

1. {1,0}
   
2. {345,184}
   
3. {1562505,-1143896}
   
4. {184783370001360,147916017521041}

复制代码

nyy

0,0
0,1

mathe

m^2+n^2=a^2
m^2-mn+n^2=b^2
设m=u^2-v^2,n=2uv
得到
(u^2+v^2)^2-2uv(u^2-v^2)=b^2
u^4-2u^3v+2u^2v^2+2uv^3+v^4=b^2
这个方程穷举了一下，有很多很多解。
对于每个这样的方程
m+n=u^2+2uv-v^2不一定是完全平方数，但是我们这时可以同时让m,n乘上一个常数d,就可以让m+n也是平方数了。
当然这样得到的m,n通常不是互素的。

northwolves

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/gentlemandiary.html

wayne

1. {1, 0}
   
2. {345, 184}
   
3. {1562505, -1143896}
   
4. {184783370001360, 147916017521041}
   
5. {180972102858416484216240, -49439318996063948240399}
   
6. {221277040503926652746669502425642824, 53160561724398540948189501125090985}
   
7. {28329160645238799874025078591619308735786965288984, 8374790857766681977657982836356254196187157860665}
   
8. {279237999988394009895951839033143645720649289047367014589229535520, -96966772426076459476339196990339482126603650540646914822854832479}
   
9. {4953978583733594584674111974138551560815648881731532071725644564202070677092999238880, 4323570748435407342117751078082097734807801426046789133854023890767828313951034367841}
   
10. {999972371446768885231714700814902279649312225854505400423128753840371084462360897016432260897452931727225, -626605882270581432967271590169756869154725599540588499504348736076272562188223789741296116373600378667176}
    
11. {2103687943394336085802115545958484011273675057390098583474752276857088208792075013208872562006566936855843779904066918943813394025, 1000224113144356559297747736573548453216844319210848593399244980149861312487255734318160083038616476564221772741917412842485884424}
    
12. {100748981950351425205014647778369999192712826211491071740386566745742950507087342493491805530394115458502770929090581788349961238880223734138099268930357041, 5926916051740867955690269601339017076918060583459331791847733414218996127178800103258880369298315975066263911592154596917278640261995843642371316047261680}
    
13. {1259260529937006551313948204587173900685914725645566523417184333467296351177210417675881332246992171772601498058419581264223320904794574503475520137290448825165787514273346436460605521, -76326038860703203282178433243129452096978691669119796466867801854752146926070492505356617442920895660841580286725628998773470859472968118746258238095807006719754483366052214612679280}
    
14. {7212735875560173039813985384542074576605401197480771798035475206964820543716983575365247642126969224504147177499499921767693918111869502506295096772751893960181622139963779243198408694513619849709929040496355537865, 4275612992842537584334887247536726735251090852125556610376051230381820425544982031028278212070725066758610333921677513836430773164962608242740723177567379618196159837608927875672430766552514855372651499485572606184}
    
15. {241001065119728294275266546993419115233828800198628849643080596110232020861656541530741394414545384023817237355798606755805001890867308353761916002443360958161418688996461282208850781109387517984013358824011926629304917757611113920468796408917785, -204916380614518143240018839036703361041570186276693731792770392040349768455506378079365215496460459755672988103375206593969992149929782109425801488013584883864519721367359369700921057713668966328485072978082275380333652057588930755189723341744776}
    
16. {878327471739362668605874868974846064491058906330150069141491685326658356258478601755583003678380687518330796784273964177685318196964206612399749742821715327517478199704380087340578679728996079309031820554719839399855211302063344631499138091291539087206886610619322044357289265023040, 643270322254603809836836734341878776584950313387191911013374649315692914972200047971101665800815551879276950943984383238881096619155215290311213362272617429024800264022235772781531851605414656958674654711492048025823980932571268602292844571244637286804620543841286414811185413000001}
    
17. {14703431575717991418797976644899666911160122751192495911987235604277175876886125956562755630750743486320508365450312927666948184848449719952800210343426615753086835692109435707389063976721157223018436927928052416738127368569008090441764044743117791645019856880451941570235115184034687322751266537483454921235950330138560, -2990682453680217624713641284966940793117714509795671869981733501527060962880952152436980920910346621541341020766521160951993066757327393803416543940298368689177284214682374209625418484115796761192531589427268555085230360481930516727649340049197113176337679553048015990660204283359959682817748912423301149673272123773759}
    
18. {220063888834635710491225652472263031933597626263100687426975705073298486374276658465790901810409020335716037380419935291266338249855572542928560135271261080189401949863070181009171219837251258632220532079445542369771602789852163865285252816787254669734380877492600012848387657423837059186839242125004304904452911083675545554805999284628482124626494298439386104, 40620559988518872009984761927527870539472161949468740825415726363378856422638239354949229428361391113293455526890121871748100054792139074098190912885494122460846177849711428601928846058624072507824408403691380225616658024258577872846297443762432122246637865912855289476956054432603222251654847165756841039705342837137865974548934390526114968808756227062647705}
    
19. {461980107405161383516450025353818025554878910339665471892923366406521344047213968525125630953055131096551557463717020579045936996462061257347820216953422014758556425544530488791363009979801158021911147432958541157412919384926819860561446146159797717461948461052275967174494589133670181804067228863695225912663764204651956813286814904719978407469717199299952030170335748707105282922356143473695664801384, 162176743065967284196297673270122799553362375915258093707609575239516021611519547323561589951879657196340386423613623557746166369907148772824529565962672177633711636511833647581805811105167626947803400362893025915642227980052320755809247492204960617850583068090532292974506075321873058979690782574385889033648641161886163783124977769890169050037660794417976629745819677975627908981786409192006710883145}
    
20. {53648210562490117253644415930696431368145896440259497503576420311071475074183259833889365880755945045235357387073431343795984487391157131059233100083576619889793893708841121542698114191157182667850531784811489861151119398674832462012916490445439665554418628486193844001625254255369831665993384285897174543215149566608935484576715075667546721431077389170935298879855036197922193088364788008846989046967402297216130007010735642888115685428399286800, -22882694835021021394114930138107809116908722910177890251594350987316592979763974882403165919572506783299839036211537077471882113316432208371554327557555354704939509822555030845239516728045498980965956775504809328532543527755744271506612485196534048781989108876518476685297405952190372889121291639366651134412553836537182137549569646452885748314541544681103294890147307803465313666299840985471568490276149573350768482296598072857086739527961220399}

复制代码

mathe

mathe 发表于 2025-4-26 08:13
m^2+n^2=a^2
m^2-mn+n^2=b^2
设m=u^2-v^2,n=2uv

其实我这里得到的方程两边除以v^4, 设x=u/v, y=b/y^2
能写成方程y^2=x^4-2x^3+2x^2+2x+1
这种方程其实也是可以转化为椭圆曲线方程的，本质上是等价的。

wayne

northwolves 发表于 2025-4-26 08:26
https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/gentlemandiary.html

这题目我最初是套用的这个网站的椭圆曲线方程,逆解出来的. 现在我们另辟蹊径,来试一试, 测试一下是否 条条道路通罗马.
设$a+b=x^2,a^2+b^2=y^2,a^2-ab+b^2=z^2$,那么可以得到$3y^2-2z^2=(a+b)^2$,这里是圆锥曲线,可以拿到参数解的. 也就是$y=u^2+2 v^2, z=u^2+2 u v-2 v^2, a+b =u^2-4 u v-2 v^2$,
再由$x^2= a+b =u^2-4 u v-2 v^2$可以知道,这个也能拿到参数解,也就是$u=U^2-4 U V+6 V^2,x=U^2-6 V^2,v=-2 U V$,最终就是 $x=U^2-6 V^2,y=U^4-8 U^3 V+36 U^2 V^2-48 U V^3+36 V^4, z=U^4-12 U^3 V+36 U^2 V^2-72 U V^3+36 V^4$
也就是说,我们得到了一个比较有意思的参数方程.

\[x^2 = a+b=u^2-4 u v-2 v^2 \\
y^2 = a^2+b^2= (u^2+2 v^2)^2 \\
z^2 = a^3+b^3 =(u^2+2 u v-2 v^2)^2\]
此时要求$u^4 + 8 u^3 v - 4 u^2 v^2 - 16 u v^3 + 4 v^4 =t^2$, 解此方程后为了配$a+b=u^2 - 4 u v - 2 v^2$也是平方数,需要加一个放大因子d,使得d(a+b)是平方数.
该四次方程可以通过$\frac{u}{v}=\frac{12 (12 X-3 Y+32)}{(3 X-16) (3 X+8)},\frac{t}{v^2}=-\frac{2 \left(27 X^3+216 X Y-10944 X+576 Y-1024\right)}{(3 X-16)^2 (3 X+8)}$. 转成$Y^2+\frac{1}{27} (3 X-40) (3 X+8) (3 X+32)=0$

----------------------------

当然也可以继续代换,$u=U^2-4 U V+6 V^2,v=-2 U V$,这样形式上都是平方数了
得到
\[x^2 = a+b=u^2-4 u v-2 v^2 = (U^2-6 V^2)^2 \\
y^2 = a^2+b^2= (u^2+2 v^2)^2 = (U^4-8 U^3 V+36 U^2 V^2-48 U V^3+36 V^4)^2\\
z^2 = a^3+b^3 =(u^2+2 u v-2 v^2)^2 = (U^4-12 U^3 V+36 U^2 V^2-72 U V^3+36 V^4)^2\]

wayne

mathe 发表于 2025-4-26 21:46
其实我这里得到的方程两边除以v^4, 设x=u/v, y=b/y^2
能写成方程y^2=x^4-2x^3+2x^2+2x+1
这种方程其实也 ...

mathe的这个思路更加清晰,简洁. 按照这个思路走下去
对y^2=x^4-2x^3+2x^2+2x+1 做变换 $x\to-\frac{6 (3 X+3 Y+8)}{(3 X-4) (3 X+8)}, y\to \frac{-27 X^3+108 X^2+54 X Y+180 X+144 Y+496}{(3 X-4)^2 (3 X+8)}$, 得到$Y^2+\frac{1}{27} (3 X-10) (3 X+2) (3 X+8)=0$
,对计算得到的(a,b)取互质的结果,然后再配成使得a+b为平方数的因子,去重, 得到计算结果如下

1. {{1,0},{1,1,1}}
   
2. {{345,184},{23,391,6877}}
   
3. {{1562505,-1143896},{647,1936471,1522480933}}
   
4. {{184783370001360,147916017521041},{18240049,236693984013841,3089609202533514140089}}
   
5. {{180972102858416484216240,-49439318996063948240399},{362674487471,187603700058905675571599,76198147858795259627308965463819849}}
   
6. {{221277040503926652746669502425642824,53160561724398540948189501125090985},{523867924412561447,227573227724682025307149874030071351,104808104982615107240118016769339071790653836585158293}}
   
7. {{28329160645238799874025078591619308735786965288984,8374790857766681977657982836356254196187157860665},{6058378619977913022187657,29541131744993779315336158631000484838411837630809,152717734247879176877287494666922017420509010341649513068689678172791450477}}
   
8. {{279237999988394009895951839033143645720649289047367014589229535520,-96966772426076459476339196990339482126603650540646914822854832479},{426932345415895550437439371300321,295595019566042139115244342033975127982860733916172346166635458721,144435208620596903968162387435914024531808975329885342522596460634347272185082767158152907998413681}}
   
9. {{4953978583733594584674111974138551560815648881731532071725644564202070677092999238880,4323570748435407342117751078082097734807801426046789133854023890767828313951034367841},{3045906980222640010947132482316664513513439,6575345452888191790990709402273459075917958056409031749149913594035382628578183052959,14226795681559194687421280819640457839178979235271270381999198145013364406429382805134714623848868447771348788825881385123593361}}
   
10. {{999972371446768885231714700814902279649312225854505400423128753840371084462360897016432260897452931727225,-626605882270581432967271590169756869154725599540588499504348736076272562188223789741296116373600378667176},{19322693631483873740905584843302105280989504685821257,1180076131168226147295681622157331719113821399290013374791105061268444495460770639003052291146621305943449,27457052989070333191932312941957801013176045622125228694564371639053748780806437249783222625937171480872247995189106869520565007673334641634397750438093498957}}
    
11. {{2103687943394336085802115545958484011273675057390098583474752276857088208792075013208872562006566936855843779904066918943813394025,1000224113144356559297747736573548453216844319210848593399244980149861312487255734318160083038616476564221772741917412842485884424},{55712763856576821646558903391770849107894010236133887168857434393,2329367132870665791372635377639346047808146238632390002602323799271691092433295204571948763061900679790193313161876348697391495049,101540877075332409482886596437423938041813757000354806143147868623874952144152057278989883301292699089753572514061900355203482815452290173093344205075265542122218236783753081148601104592726919093}}
    
12. {{100748981950351425205014647778369999192712826211491071740386566745742950507087342493491805530394115458502770929090581788349961238880223734138099268930357041,5926916051740867955690269601339017076918060583459331791847733414218996127178800103258880369298315975066263911592154596917278640261995843642371316047261680},{326612764603731146276043303065650889232439079513617242176767016893186568451311,100923167300261741362984849093454836414750680085695053423136292294230880933984420123820057706553088061202602105004775886783897609425720735507281969137479759,31981969506965495955891692809217478554340863578324211128323925413150319593556942033664712170046666554117315195711870345081749727343080034955630960899948597557604489268274111804199778276608214924808402936513944879360862459639083298089}}
    
13. {{1259260529937006551313948204587173900685914725645566523417184333467296351177210417675881332246992171772601498058419581264223320904794574503475520137290448825165787514273346436460605521,-76326038860703203282178433243129452096978691669119796466867801854752146926070492505356617442920895660841580286725628998773470859472968118746258238095807006719754483366052214612679280},{34393814721201010564005378013637097542498958728933582354285016246448862430888498616391478671,1261571538385911807182381928639297854230990910199349291899043706782713055626842996524985649810714780925383214176191673534713066723237589563070030079271013683298749725004279079178559279,44681220536946625206156924579222605910553082480010656373848238925873496227852213807213454110121788089426727788143188560102680804529959540946497340035927200657992119364500669871658646527160462914878366505208824942041926202323842239035484242906186016185784370882008201402020569}}
    

复制代码