两个整数的和、平方和、立方和都是完全平方数

wayne

两个整数a,b的和、平方和、立方和都是完全平方数，这两个整数为多少,先给几组.

1. {1,0}
   
2. {345,184}
   
3. {1562505,-1143896}
   
4. {184783370001360,147916017521041}

复制代码

nyy

0,0
0,1

mathe

m^2+n^2=a^2
m^2-mn+n^2=b^2
设m=u^2-v^2,n=2uv
得到
(u^2+v^2)^2-2uv(u^2-v^2)=b^2
u^4-2u^3v+2u^2v^2+2uv^3+v^4=b^2
这个方程穷举了一下，有很多很多解。
对于每个这样的方程
m+n=u^2+2uv-v^2不一定是完全平方数，但是我们这时可以同时让m,n乘上一个常数d,就可以让m+n也是平方数了。
当然这样得到的m,n通常不是互素的。

northwolves

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/gentlemandiary.html

wayne

1. {1, 0}
   
2. {345, 184}
   
3. {1562505, -1143896}
   
4. {184783370001360, 147916017521041}
   
5. {180972102858416484216240, -49439318996063948240399}
   
6. {221277040503926652746669502425642824, 53160561724398540948189501125090985}
   
7. {28329160645238799874025078591619308735786965288984, 8374790857766681977657982836356254196187157860665}
   
8. {279237999988394009895951839033143645720649289047367014589229535520, -96966772426076459476339196990339482126603650540646914822854832479}
   
9. {4953978583733594584674111974138551560815648881731532071725644564202070677092999238880, 4323570748435407342117751078082097734807801426046789133854023890767828313951034367841}
   
10. {999972371446768885231714700814902279649312225854505400423128753840371084462360897016432260897452931727225, -626605882270581432967271590169756869154725599540588499504348736076272562188223789741296116373600378667176}
    
11. {2103687943394336085802115545958484011273675057390098583474752276857088208792075013208872562006566936855843779904066918943813394025, 1000224113144356559297747736573548453216844319210848593399244980149861312487255734318160083038616476564221772741917412842485884424}
    
12. {100748981950351425205014647778369999192712826211491071740386566745742950507087342493491805530394115458502770929090581788349961238880223734138099268930357041, 5926916051740867955690269601339017076918060583459331791847733414218996127178800103258880369298315975066263911592154596917278640261995843642371316047261680}
    
13. {1259260529937006551313948204587173900685914725645566523417184333467296351177210417675881332246992171772601498058419581264223320904794574503475520137290448825165787514273346436460605521, -76326038860703203282178433243129452096978691669119796466867801854752146926070492505356617442920895660841580286725628998773470859472968118746258238095807006719754483366052214612679280}
    
14. {7212735875560173039813985384542074576605401197480771798035475206964820543716983575365247642126969224504147177499499921767693918111869502506295096772751893960181622139963779243198408694513619849709929040496355537865, 4275612992842537584334887247536726735251090852125556610376051230381820425544982031028278212070725066758610333921677513836430773164962608242740723177567379618196159837608927875672430766552514855372651499485572606184}
    
15. {241001065119728294275266546993419115233828800198628849643080596110232020861656541530741394414545384023817237355798606755805001890867308353761916002443360958161418688996461282208850781109387517984013358824011926629304917757611113920468796408917785, -204916380614518143240018839036703361041570186276693731792770392040349768455506378079365215496460459755672988103375206593969992149929782109425801488013584883864519721367359369700921057713668966328485072978082275380333652057588930755189723341744776}
    
16. {878327471739362668605874868974846064491058906330150069141491685326658356258478601755583003678380687518330796784273964177685318196964206612399749742821715327517478199704380087340578679728996079309031820554719839399855211302063344631499138091291539087206886610619322044357289265023040, 643270322254603809836836734341878776584950313387191911013374649315692914972200047971101665800815551879276950943984383238881096619155215290311213362272617429024800264022235772781531851605414656958674654711492048025823980932571268602292844571244637286804620543841286414811185413000001}
    
17. {14703431575717991418797976644899666911160122751192495911987235604277175876886125956562755630750743486320508365450312927666948184848449719952800210343426615753086835692109435707389063976721157223018436927928052416738127368569008090441764044743117791645019856880451941570235115184034687322751266537483454921235950330138560, -2990682453680217624713641284966940793117714509795671869981733501527060962880952152436980920910346621541341020766521160951993066757327393803416543940298368689177284214682374209625418484115796761192531589427268555085230360481930516727649340049197113176337679553048015990660204283359959682817748912423301149673272123773759}
    
18. {220063888834635710491225652472263031933597626263100687426975705073298486374276658465790901810409020335716037380419935291266338249855572542928560135271261080189401949863070181009171219837251258632220532079445542369771602789852163865285252816787254669734380877492600012848387657423837059186839242125004304904452911083675545554805999284628482124626494298439386104, 40620559988518872009984761927527870539472161949468740825415726363378856422638239354949229428361391113293455526890121871748100054792139074098190912885494122460846177849711428601928846058624072507824408403691380225616658024258577872846297443762432122246637865912855289476956054432603222251654847165756841039705342837137865974548934390526114968808756227062647705}
    
19. {461980107405161383516450025353818025554878910339665471892923366406521344047213968525125630953055131096551557463717020579045936996462061257347820216953422014758556425544530488791363009979801158021911147432958541157412919384926819860561446146159797717461948461052275967174494589133670181804067228863695225912663764204651956813286814904719978407469717199299952030170335748707105282922356143473695664801384, 162176743065967284196297673270122799553362375915258093707609575239516021611519547323561589951879657196340386423613623557746166369907148772824529565962672177633711636511833647581805811105167626947803400362893025915642227980052320755809247492204960617850583068090532292974506075321873058979690782574385889033648641161886163783124977769890169050037660794417976629745819677975627908981786409192006710883145}
    
20. {53648210562490117253644415930696431368145896440259497503576420311071475074183259833889365880755945045235357387073431343795984487391157131059233100083576619889793893708841121542698114191157182667850531784811489861151119398674832462012916490445439665554418628486193844001625254255369831665993384285897174543215149566608935484576715075667546721431077389170935298879855036197922193088364788008846989046967402297216130007010735642888115685428399286800, -22882694835021021394114930138107809116908722910177890251594350987316592979763974882403165919572506783299839036211537077471882113316432208371554327557555354704939509822555030845239516728045498980965956775504809328532543527755744271506612485196534048781989108876518476685297405952190372889121291639366651134412553836537182137549569646452885748314541544681103294890147307803465313666299840985471568490276149573350768482296598072857086739527961220399}

复制代码

mathe

mathe 发表于 2025-4-26 08:13
m^2+n^2=a^2
m^2-mn+n^2=b^2
设m=u^2-v^2,n=2uv

其实我这里得到的方程两边除以v^4, 设x=u/v, y=b/y^2
能写成方程y^2=x^4-2x^3+2x^2+2x+1
这种方程其实也是可以转化为椭圆曲线方程的，本质上是等价的。