求空间角度θ

iseemu2009

求θ的表达式

wayne

这应该是球面余弦定理 Spherical law of cosines, $cos\theta = \frac{cos\alpha-cos\beta cos\gamma}{sin\beta sin\gamma}$

wayne

那就再往前走一步,$\sin\theta = sin\beta*sin(oac,obc) = sin\beta \sqrt{1-(\frac{cos\gamma-cos\beta cos\alpha}{sin\beta sin\alpha})^2} = \frac{\sqrt{( sin\alpha sin\beta)^2-(cos\gamma-cos\alpha cos\beta)^2}}{sin\alpha}$

aimisiyou

$$\cos θ=\frac{\sqrt{\cos^2 β+\cos^2 γ-2\cos α·\cos β·\cos γ}}{\sin α}$$

nyy

假设oa=ob=oc=1，
用三个角的四面体体积公式。计算出四面体的体积，
再用正弦角度表达出底面积，
这样就能得出四面体的高，
这个高的值就是正弦值。

wayne

3#跟4#一个是正弦,一个是余弦, 平方和 加起来刚好是1. 所以是等价的. 但是3#的可玩性明显高很多, 比如3#还有一个轮换对称的表达式,将$\beta$跟$\gamma$互换.

$\sin\theta sin\alpha=\sqrt{( sin\alpha sin\beta)^2-(cos\gamma-cos\alpha cos\beta)^2}=\sqrt{( sin\alpha sin\gamma)^2-(cos\beta-cos\alpha cos\gamma)^2}=\sqrt{4  \sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2})\sin(\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}-\frac{\gamma }{2}) \sin (\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2}-\frac{\alpha }{2}) \sin (\frac{\gamma }{2}+\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}$
而右侧是关于$\alpha ,\beta,\gamma$轮换对称的,所以可以得到其他两个角,以及恒等式. 这里我们换一下角度表示$\theta_{\alpha}$就是$\alpha$角度所在平面上的$\theta$角.
$\sin\theta sin\alpha =\sin\theta_{\alpha} sin\alpha = \sin\theta_{\beta} sin\beta= \sin\theta_{\gamma} sin\gamma = \sqrt{4  \sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2})\sin(\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}-\frac{\gamma }{2}) \sin (\frac{\beta }{2}+\frac{\gamma }{2}-\frac{\alpha }{2}) \sin (\frac{\gamma }{2}+\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}$
一水儿的正弦符号,很好记忆,右侧类似于海伦公式...
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nyy

wayne 发表于 2025-4-30 07:17
3#跟4#一个是正弦,一个是余弦, 平方和 加起来刚好是1. 所以是等价的. 但是3#的可玩性明显高很多, 比如3#还 ...

本来四面体体积公式就有类似的海伦公式

nyy

wayne 发表于 2025-4-30 07:17
3#跟4#一个是正弦,一个是余弦, 平方和 加起来刚好是1. 所以是等价的. 但是3#的可玩性明显高很多, 比如3#还 ...

海伦类公式，收集类似海伦公式的公式
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=19359
(出处: 数学研发论坛)

看看5楼的思路，体积除以底面积，再乘以3，
得到高，也就是正弦值。

hejoseph