中考模拟题，求tan∠ABP的值

nyy

nyy 发表于 2025-5-1 18:01
Solve[{x*x+y*y==16,(y+2x)^2+x*x==32,x>0,y>0},{x,y}]

QM=x

用六楼的办法

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*假设MQ=MD=x,PM=y,则BP=2x*)
   
5. PQ=4
   
6. BD=4*Sqrt[2]
   
7. MQ=DM=x
   
8. BP=2x
   
9. MP=y
   
10. BM=BP+MP
    
11. ans=Solve[{
    
12.     PQ^2==MQ^2+MP^2,(*△PMQ勾股定理*)
    
13.     BM^2+DM^2==BD^2 (*△BMD勾股定理*)
    
14. },{x,y}]//Simplify
    
15. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
16. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
17. {AB,AP}={4,2*Sqrt[2]};(*线段长度赋值*)
    
18. aaa=Tan[ArcCos@cs[AB,BP,AP]]/.ans//Simplify
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{ll}
x\to -\sqrt{6-2 \sqrt{7}} & y\to -\sqrt{2 \left(\sqrt{7}+5\right)} \\
x\to \sqrt{6-2 \sqrt{7}} & y\to \sqrt{2 \left(\sqrt{7}+5\right)} \\
x\to -\sqrt{2 \left(\sqrt{7}+3\right)} & y\to \sqrt{10-2 \sqrt{7}} \\
x\to \sqrt{2 \left(\sqrt{7}+3\right)} & y\to -\sqrt{10-2 \sqrt{7}} \\
\end{array}
\]
数值化
\[\begin{array}{ll}
x\to -0.841723 & y\to -3.91044 \\
x\to 0.841723 & y\to 3.91044 \\
x\to -3.36028 & y\to 2.16991 \\
x\to 3.36028 & y\to -2.16991 \\
\end{array}\]
对应的正切值结果
\[\left\{\frac{1}{\sqrt{7}-4},\frac{1}{9} \left(\sqrt{7}+4\right),-\frac{1}{\sqrt{7}+4},\frac{1}{\sqrt{7}+4}\right\}\]
第一组与第三组的结果，有没有几何图形，不知道，也许有，估计是PQ调换的结果

王守恩

Jack315 发表于 2025-5-1 08:27
如图：

可求出 BM 中各线段的长度，从而求出 \(\Delta QMN\) 各边长。

3楼的图。谢谢Jack315！！！不用三角函数。

Solve[{(4 Sqrt[2])^2 == DM^2 + (Sqrt[4^2 - DM^2] + 2 DM)^2, Sqrt[(4 - NA)^2 - DM^2]/DM == NA/4 == k, DM > 0, 4 > NA > 0}, {DM, NA, k}]

{{DM -> Sqrt[2 (3 - Sqrt[7])], NA -> 4/9 (4 + Sqrt[7]), k -> 1/9 (4 + Sqrt[7])}}

Gongwen0519

双轨迹（两圆）求交点：

Gongwen0519

稍微解释一下双轨迹：
轨迹一：

轨迹二：
今日已到极限，无法上传图片。
文字描述如下：
∵DA⊥=AB、QA⊥=AP，
∴∠BAP=∠DAQ， 从而△APB≌△AQD；
∵∠ABP+∠MAD=45°，
∴∠MDA+∠MAD+∠ADB(45°)=90°
所以： ∠BMD=180°-90°=90°
故M在以BD为直径的圆周上。

Gongwen0519

Gongwen0519 发表于 2025-5-6 17:11
稍微解释一下双轨迹：
轨迹一：

补轨迹二之图：

Gongwen0519