初中几何，求AB的长？

nyy

初中几何，求AB的长？
我的思路有两个，
一个是以 Ab, ac ad
为三个变量，两个勾股定理，列两个方程，
用余弦的二倍角列一个方程
三个方程解三个未知数。

思路2，假设AC=x，
然后用反正切，根据角的关系，
列出方程，解出ac，然后得到ab

nyy

我手机上没有办法把jpg图片转png，
哪位雷锋看到了帖子后，把图片转化成
png，给郭节省点论坛空间

nyy

Solve[arctan[4/x]-arctan[2/x]==arctan[x/4]/2,x]

wolframalpha求解的，
上面不需要写成ArcTan
所以我就没那么麻烦，
求解结果
x = sqrt(2 + 2 sqrt(17))
还有一个负数的

王守恩

延长 CB 至 E,   BE = BA,   BD/BE = AD/AE。

Solve[{2/AB == Sqrt[AB^2 - 4^2 + 2^2]/Sqrt[AB^2 - 4^2 + (4 + AB)^2], AB > 0}, {AB}]

{{AB -> 1 + Sqrt[17]}}

hejoseph

在 $AB$ 上取一点 $E$，使 $BD=ED$。过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $F$，则 $F$ 为 $BE$ 的中点。
由 $\angle B=2\angle DAB$ 得 $\angle DAB=\angle ADE$，所以
\[
AE=DE=BD=2
\]
设 $AB=x$，分别在 $\triangle ACD$、$\triangle ACB$ 中应用勾股定理得
\[
AC^2=AD^2-2^2=x^2-4^2
\]
得
\[
AD^2=x^2-12
\]
分别在 $\triangle ADF$、$\triangle BDF$ 中应用勾股定理得
\[
DF^2=AD^2-\left(2+\frac{x-2}{2}\right)^2=2^2-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2
\]
上面的方程整理得
\[
AD^2=2x+4
\]
所以
\[
x^2-12=2x+4
\]
解这个方程得（负根舍去）
\[
x=1+\sqrt{17}
\]

nyy

hejoseph 发表于 2025-5-12 17:58
在 $AB$ 上取一点 $E$，使 $BD=ED$。过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $F$，则 $F$ 为 $BE$ 的中点。
由 $ ...

应该有两组解，你们都只求出了一组解

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*线段长度赋值,提高代码可读性*)
   
5. CD=BD=2
   
6. BC=4
   
7. (*利用勾股定理与余弦二倍角公式列方程组解决问题*)
   
8. ans=Solve[{
   
9.     AC^2+CD^2==AD^2,(*勾股定理*)
   
10.     AC^2+BC^2==AB^2,(*勾股定理*)
    
11.     Numerator@Together[BC/AB-(2*cs[AD,AB,BD]^2-1)]==0 (*余弦二倍角公式*)
    
12. },{AB,AC,AD}]//FullSimplify//ToRadicals;(*努力化简并转化成根式表达*)
    
13. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
14. aaa=Select[ans,And[AB>=0,AC>=0,AD>=0]/.#&](*选出非负数解*)
    
15. Grid[aaa,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{lll}
\text{AB}\to 4 & \text{AC}\to 0 & \text{AD}\to 2 \\
\text{AB}\to \sqrt{17}+1 & \text{AC}\to \sqrt{2 \left(\sqrt{17}+1\right)} & \text{AD}\to \sqrt{2 \left(\sqrt{17}+3\right)} \\
\end{array}\]

AC=0这组解也符合题意！

nyy

这个是被压缩后的图片，感觉压缩质量还是很不错的！还能看清。
雷锋把一楼的图片删掉，然后在一楼引用这个图片，这样就能帮郭节省
190kb这样，出乎我的预料。