关于z^2=x^3+y^3的有理参数化解的由来

wayne

根据链接得知，In 1756-1757, Euler (1761, 1849, 1915) ，欧拉给出 $z^2=x^3+y^3$的有理参数化解是
$ x = 4 m n (3 m^2-3 m n+n^2)$,
$ y = (m-n) (3 m-n) (3 m^2+n^2)$,
$ z = (3 m^2-n^2) (9 m^4-18 m^3 n+18 m^2 n^2-6 m n^3+n^4)$
我好奇，这个过程。https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

我们可否 如法炮制，求出$z^2=x^3+k*y^3$的参数化解 ,进而解决$zy^2＝x^3+k$,
https://www.zhihu.com/question/1906047671954809322

因此，存在两个问题：
1）300年前的欧拉推出的有理参数解的由来
2）能否给出$z^2=x^3+k*y^3$的有理参数化解

复制公式，方便大家检验。

1. Factor[x^3+ y^3-z^2/.Thread[{x,y,z}->{4m n(3m^2-3m n+n^2),(m-n)(3m-n)(3m^2+n^2),(3m^2-n^2)(9m^4-18m^3n+18m^2n^2-6m n^3+n^4)}]]

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数论爱好者

问题太难,恐怕不易解决
A054504
数n使得Mordell方程y ^ 2 = x ^ 3 + n没有积分解。
A081119
Mordell方程y ^ 2 = x ^ 3 + n的积分解的个数。
A081120
Mordell方程y ^ 2 = x ^ 3 - n的积分解的个数。
A134109
具有非负y的Mordell方程y ^ 2 = x ^ 3 - n的积分解的数量。

数论爱好者

A050801
数k，使得k ^ 2可以至少以一种方式表示为两个正立方体的和。
A050802
至少以一种方式可表示为两个正立方体之和的平方。
A050803
至少可以一种方式表示为两个非零平方之和的立方体。
A050804
数字n，使得n ^ 3是两个非零平方的总和。
A106265
数a > 0，使得丢番图方程a + b ^ 2 = c ^ 3具有整数解b和c。
A051394
5次幂可表示为两个正立方体之和的数字。

数论爱好者

zy^2=x^3+k,当k为立方数时，可参数化,一般情形下需借助椭圆曲线理论分析解的分布，不可直接参数化。

mathe

设\(w\)是六次单位根，于是\(1-w+w^2=0\)
\(x^3+y^3=(x+y)(x-wy)(x-\bar{w}y)\)
我们先考虑\((x+y, x^2-xy+y^2)=1\)的情况，这时要求
x+y和\(x^2-xy+y^2\)都是完全平方数，于是可以设\(x-wy=(a-wb)^2\)
得到\(x-wy=a^2+w^2b^2-2abw=a^2+(w-1)b^2-2abw=(a^2-b^2)-(2ab-b^2)w\)
所以\(x=a^2-b^2,y=2ab-b^2\), 由于要求\(x+y=c^2=(a+b)^2-3b^2\)
所以我们需要先求解方程\(c^2=d^2-3b^2=(d+\sqrt{3}b)(d-\sqrt{3}b)\)的通解。
同样可以设\(d-\sqrt{3}b=(u-\sqrt{3}v)^2=u^2+3v^2-2uv\sqrt{3}\)
于是我们得到\(d=u^2+3v^2,b=2uv,c=u^2-3v^2,a=d-b=u^2-2uv+3v^2\)
由此我们得到
\(x=(u^2-2uv+3v^2)^2-(2uv)^2, y=4uv(u^2-3uv+3v^2)\)

数论爱好者

zy^2=x^3+k,当k为立方数时，
x=3a^2*b^2+b
y=3ab^2
z=3a^4*b^2+3a^2*b+1(当k=-b^3)
弄几个数据检验一下真假就好了

northwolves

1. x=4 s^4-4 k s t^3;
   
2. y=8 s^3 t+k t^4;
   
3. z=8 s^6+20 k s^3 t^3-k^2 t^6;
   
4. x^3+k y^3-z^2//FullSimplify

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northwolves

待定系数法侥幸找到的。

1. f[r_] :=
   
2.   Collect[(a  r^4 + b  k  r)^3 +
   
3.     k (c  r^3 + d  k)^3 - (e  r^6 + f  k   r^3 + g  k^2)^2, k];

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$f[0]=k^4 \left(d^3-g^2\right)$
$f[1]=a^3+k \left(3 a^2 b+c^3-2 e f\right)+k^2 \left(3 a b^2+3 c^2 d-2 e g-f^2\right)+k^3 \left(b^3+3 c d^2-2 f g\right)+k^4 \left(d^3-g^2\right)-e^2$
$f[2]=4096 a^3+k \left(1536 a^2 b+512 c^3-1024 d e\right)+k^2 \left(192 a b^2+192 c^2-128 d f-64 e^2\right)+k^3 \left(8 b^3+24 c-16 e f\right)-4096 d^2+\left(1-f^2\right) k^4$

1. sol = Union[CoefficientList[f[0], k], CoefficientList[f[1], k], CoefficientList[f[2], k]]

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$\{0,4096 a^3-4096 e^2,a^3-e^2,1536 a^2 b+512 c^3-1024 e f,3 a^2 b+c^3-2 e f,192 a b^2+192 c^2 d-128 e g-64 f^2,3 a b^2+3 c^2 d-2 e g-f^2,8 b^3+24 c d^2-16 f g,b^3+3 c d^2-2 f g,d^3-g^2\}$
系数应该都为0

northwolves

找到了一组解： $x= 4 r^4-4 k r,y=8 r^3+k,z=8r^6+20 k r^3-k^2 $

wayne

测试了一下, 跟前面的是等价的. $r -> t/s$