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[讨论] 单位球体积最小的外切八面体

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发表于 2025-5-20 08:37:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

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单位球体积最小的外切八面体是如下图的多面体,它由 $4$ 个四边形面和 $4$ 个五边形面构成顶点的坐标分别是 $A$:$(0,-b,h_2)$,$B$:$(0,b,h_2)$,$C$:$(-b,0,-h_2)$,$D$:$(b,0,-h_2)$,$E$:$(c,-a,h_1)$,$F$:$(c,a,h_1)$,$G$:$(-c,a,h_1)$,$H$:$(-c,-a,h_1)$,$I$:$(a,c,-h_1)$,$J$:$(-a,c,-h_1)$,$K$:$(-a,-c,-h_1)$、$L$:$(a,-c,-h_1)$,求出 $a$、$b$、$c$、$h_1$、$h_2$ 的值和这个多面体的体积。
内切球.png
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-5-23 11:11:08 | 显示全部楼层
坐标系建立如图
无标题.png
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 楼主| 发表于 2025-5-24 18:54:20 | 显示全部楼层
根据坐标很容易求得面积,分解成以原点为棱锥后很容易求出体积。但是这个题目也跟Steffen多面体的体积一样,求出那些量的精确值就很难,估计也是次数很高的方程的根。

点评

你有解法吗  发表于 2025-5-24 23:57
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 楼主| 发表于 2025-5-25 20:48:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2025-5-25 22:43 编辑

四边形是梯形,两底之间的高为 $\sqrt{c^2+(h_2-h_1)^2}$,面积为 $(a+b)\sqrt{c^2+(h_2-h_1)^2}$。
五边形可分割成一个梯形和一个三角形,梯形两底之间的高为 $\sqrt{(c-a)^2+(2h_1)^2}$,面积为$(a+c)\sqrt{(c-a)^2+(2h_1)^2}$;以梯形其中一底边为底的三角形的高为 $\sqrt{(a-b)^2+(h_2-h_1)^2}$,面积为 $c\sqrt{(a-b)^2+(h_2-h_1)^2}$。
以原点为顶点,各面为底分割成八个棱锥,棱锥的高都是单位球的半径,即 $1$,这些棱锥体积的和就是这个多面体的体积,体积为
\[
\frac{4}{3}\left((a+b)\sqrt{c^2+(h_2-h_1)^2}+(a+c)\sqrt{(c-a)^2+(2h_1)^2}+c\sqrt{(a-b)^2+(h_2-h_1)^2}\right)
\]
与单位球相切得到如下关系
\begin{align*}
h_2^2&=1+\left(\frac{h_2-h_1}{c}\right)^2\\
\left(\frac{a+c}{2}\right)^2&=1+\left(\frac{c-a}{2h_1}\right)^2
\end{align*}
五边形各顶点共面,得到如下关系
\[
\frac{a-b}{h_2-h_1}=\frac{c-a}{2h_1}
\]
问题就变为满足上面三个关系条件下的体积表达式最小值。

根据上面的计算,Mathematica里运行如下命令
  1. NMinimize[{4/3((a+b)Sqrt[c^2+(h2-h1)^2]+c Sqrt[(a-b)^2+(h2-h1)^2]+(a+c)Sqrt[(c-a)^2+(2h1)^2]),h2^2==1+((h2-h1)/c)^2&&((a+c)/2)^2==1+((c-a)/(2h1))^2&&(a-b)/(h2-h1)==(c-a)/(2h1)&&0<b<a<c&&0<h1<h2},{a,b,c,h1,h2}]
复制代码

得到的结果为
{6.70092, {a -> 0.92933, b -> 0.695926, c -> 1.14368, h1 -> 0.39307,   h2 -> 1.24908}}
但是改为Minimize运行一天都没结果。

点评

最小值没证明,是从The Polyhedra of Maximal Volume Inscribed in the Unit Sphere and of Minimal Volume Circumscribed about the Unit Sphere这个文章得到的,但那文章也没证明  发表于 7 天前
精确值目前方法没求出来  发表于 7 天前
我算了一下半径为1的球,外接正八面体的体积是4sqrt(3)=6.9282,确实你程序的结果比这值小。你这图有体积最小的证明吗  发表于 2025-5-25 22:46
你是对的,这题求不了精确值吗  发表于 2025-5-25 22:28
从上面得到的五边形各顶点共面得到的关系也能得到c是最大的  发表于 2025-5-25 22:20
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
下图上面是单位球面上4点到8点构成体积最大的多面体,下面是单位球体积最小的外切4到8面体,上下两个多面体构成了对偶多面体。
1.png
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发表于 6 天前 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2025-5-26 13:39
下图上面是单位球面上4点到8点构成体积最大的多面体,下面是单位球体积最小的外切4到8面体,上下两个多面体 ...


把你的程序改了一下,体积还有更小的:
  1. NMinimize[{4/3 ((a + b) Sqrt[c^2 + (h2 - h1)^2] +c  Sqrt[(a - b)^2 + (h2 - h1)^2] + (a +
  2.         c) Sqrt[(c - a)^2 + (2 h1)^2]), h2^2 == 1 + ((h2 - h1)/c)^2 && ((a + c)/2)^2 ==
  3.     1 + ((a - b)/(h2 - h1))^2 && 0 < h1 < b < a < c < h2}, {a, b, c, h1, h2}]
复制代码


最后条件限制改了下:一是 (c-a)/2h1=(a-b)/(h2-h1) 代入了它左边的条件式里,二是五个元素大小限制改了 0 < h1 < b < a < c < h2。你看下这样有问题没有?

点评

(c-a)/(2h1)=(a-b)/(h2-h1)这个条件代入最左边表达式可以,但不能去掉,否则五边形面的点就不能共面了,你自己计算一下就知道  发表于 6 天前
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