两军交战的胜负判定

KeyTo9_Fans

我方有$n$名成员，用$U_1$、$U_2$、……、$U_n$表示。每名成员的生命值分别为$H_1$、$H_2$、……、$H_n$，战斗力用矩阵$A$来表示。

敌方有$m$名成员，用$u_1$、$u_2$、……、$u_m$表示。生命值分别为$h_1$、$h_2$、……、$h_m$，战斗力用矩阵$B$来表示。

其中，$A=[(a_{11},a_{12},...,a_{1m}),(a_{21},a_{22},...,a_{2m}),(...,...,...,...),(a_{n1},a_{n2},...,a_{nm})]$。

$B=[(b_{11},b_{12},...,b_{1n}),(b_{21},b_{22},...,b_{2n}),(...,...,...,...),(b_{m1},b_{m2},...,b_{mn})]$。

矩阵$A$的第$i$行$j$列表示我方成员$U_i$对敌方成员$u_j$的攻击力是$a_{ij}$点每秒。

矩阵$B$的第$i$行$j$列表示敌方成员$u_i$对我方成员$U_j$的攻击力是$b_{ij}$点每秒。

攻击伤害是连续的。例如，$U_i$攻击$u_j$，持续$1/100$秒所造成的伤害为$a_{ij}/100$点，生命值用实数来计算。

攻击范围是没有限制的，每一名成员都可以攻击任何一名成员。

每一名成员在任何时刻都只能攻击一名成员，不能同时攻击多名成员，但可以随时改变攻击目标。

对于任何一名成员，生命值降为$0$即死亡，死亡后失去攻击力。

将对方所有成员打死即获得胜利，双方成员同时死光则打平。

双方都采用最佳策略作战。

给定$H_1$、$H_2$、……、$H_n$，$h_1$、$h_2$、……、$h_m$，$A$和$B$，均为正实数，判断我方是否必胜或必败。

056254628

对于n＝1，没有什么可考虑的。
H1，h1，a11，b11
如果H1：b11＝h1：a11  打平
    H1：b11>h1：a11  我方胜
    H1：b11<h1：a11  我方负
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于n>1，比较复杂，
有三个优先攻击的地方：
  1 对方的攻击力大，需要优先攻击
  2 对方的生命值小，需要优先攻击
  3 对方的防守差（即我方的攻击力大）
不能兼得，就需要权衡了。
攻击伤害是连续，其实没必要，只要把时间间隔设的足够小，就可看成是间断的，即每次攻击能减少对方多少生命值。
每一次大家都选定自己的对手，那么下一次所有人的生命值就是确定的，一直进行下去，来找到最优过程。

056254628

n比较大时，很复杂，可以先从n＝2来研究。

mathe

时间连续或离散不是关键问题。通常来说，每次如果选择了攻击某人，应该大家齐心协力选择共同目标，干翻一个以后再选择下一个目标。但是问题是这种策略不是绝对的，有时还是会产生需要同时攻击多个目标的情况，所以问题非常复杂。

wayne

干翻一个

mathe这措辞，

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突然发现这个问题的参数可以简化：

对于每一个队员，将他的生命值和所受的伤害放大或缩小相同的倍数，结果不变。

所以可以假设$H_1=H_2=...=H_n=1$，$h_1=h_2=...=h_m=1$。

于是参数只剩下$A$和$B$。

我方必胜可以记为$A\succ B$，必败记为$A\prec B$。

不知道“$\succ$”是否具有传递性。

说不定存在$A$、$B$、$C$，使得$A\succ B$，$B\succ C$，$C\succ A$。

mathe

应该不具有传递性，而且构造估计不难，猜测3阶矩阵就能搞定

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当$n=2$时，出现了特殊的结果：无法判定胜负。

假设双方各有$2$名成员，生命值均为$1$。

我方成员$1$攻击对方成员$1$，攻击力是$1$生命值每秒；
我方成员$1$攻击对方成员$2$，攻击力是$2$生命值每秒；
我方成员$2$攻击对方成员$1$，攻击力是$2$生命值每秒；
我方成员$2$攻击对方成员$2$，攻击力是$1$生命值每秒；

对方成员$1$攻击我方成员$1$，攻击力是$2$生命值每秒；
对方成员$1$攻击我方成员$2$，攻击力是$1$生命值每秒；
对方成员$2$攻击我方成员$1$，攻击力是$1$生命值每秒；
对方成员$2$攻击我方成员$2$，攻击力是$2$生命值每秒；

即$A=[(1,2),(2,1)]$，$B=[(2,1),(1,2)]$。

战斗的时候，我方有$4$招可选：
招数$1$：$2$名成员都先攻击对方成员$1$；
招数$2$：成员$1$先攻击对方成员$1$，成员$2$先攻击对方成员$2$；
招数$3$：成员$1$先攻击对方成员$2$，成员$2$先攻击对方成员$1$；
招数$4$：$2$名成员都先攻击对方成员$2$；

敌方也有$4$招可选：
招数$1$：$2$名成员都先攻击我方成员$1$；
招数$2$：成员$1$先攻击我方成员$1$，成员$2$先攻击我方成员$2$；
招数$3$：成员$1$先攻击我方成员$2$，成员$2$先攻击我方成员$1$；
招数$4$：$2$名成员都先攻击我方成员$2$；

假设整个战斗过程双方都不变招，那么战斗结果如下：

　　　　　　　对方用第１招　对方用第２招　对方用第３招　对方用第４招
我方用第１招　　　对方胜　　　　我方胜　　　　我方胜　　　　我方胜
我方用第２招　　　对方胜　　　　对方胜　　　　打平　　　　　对方胜
我方用第３招　　　对方胜　　　　打平　　　　　我方胜　　　　对方胜
我方用第４招　　　我方胜　　　　我方胜　　　　我方胜　　　　对方胜

从上表可以看出，双方都没有必胜的招数。

这会导致整个战斗过程双方都在频繁地变招：

假设战斗开始时，我方出第１招，对方出第４招；
双方出招后，对方见形势不妙，立即变成第１招；
对方变招后，我方见形势不妙，立即变成第４招；
我方变招后，对方见形势不妙，立即变成第４招；
对方变招后，我方见形势不妙，立即变成第１招；
我方变招后，对方见形势不妙，立即变成第１招；
……

所以战斗结果无法判定。

为了判定这种特殊情况的战斗结果，我们引入概率。

于是对于$A=[(1,2),(2,1)]$，$B=[(2,1),(1,2)]$的情况，战斗结果是双方各有$50%$的概率获胜。

于是给定$A$和$B$，战斗结果有如下$4$种：

$1$、我方的胜利概率是$100%$；
$2$、我方的胜利概率是$0%$；
$3$、我方的胜利概率是$50%$
$4$、双方同时死光的概率是$100%$

我们将情况$1$记为$A\succ B$，情况$2$记为$A\prec B$，情况$3$和情况$4$均记为$A=B$。

于是对于$6#$的问题，结论是$\succ$不具有传递性。

如果要找不具有传递性的例子，估计$2$阶矩阵就能搞定。

我会设法构造出这样的矩阵的，大家静候佳音吧~