寻找最容易区分的硬币组

KeyTo9_Fans

有$N$枚硬币，它们抛到正面朝上的概率分别是$p_1$、$p_2$、……、$p_N$。

对$p_1$、$p_2$、……、$p_N$按照从小到大排序，结果记为$q_1$、$q_2$、……、$q_N$，即$q_1<q_2<...<q_N$。

我们现在只知道$q_1$、$q_2$、……、$q_N$是多少，不知道它们分别对应哪一枚硬币。

于是我们抛若干次硬币（每次都只选$1$枚来抛），根据每枚硬币的正(反)面朝上次数推断$N$个概率值$q_1$、$q_2$、……、$q_N$分别对应哪一枚硬币。

我们希望正确率达到$(1-\varepsilon)$（$N$个概率值全部对上才算正确），并且抛硬币的次数尽可能少。

在已知$q_1$、$q_2$、……、$q_N$、$\varepsilon$，并采取最佳策略的前提下，抛硬币次数的期望值是可以求出来的，记为$E(q_1,q_2,...,q_N,\varepsilon)$。

当$\varepsilon$固定时（比如$50%$），$E(q_1,q_2,...,q_N,\varepsilon)$越大说明硬币组$q_1,q_2,...,q_N$越难区分。

请你找出最容易区分的硬币组。

即$q_1,q_2,...,q_N$等于多少时，$E(q_1,q_2,...,q_N,\varepsilon)$最小？

例如：

当$N=1$时，$q_1$等于多少都无所谓，最佳策略是不抛硬币，正确率为$100%$。

当$N=2,\varepsilon=50%$时，$q_1,q_2$也是等于多少都无所谓，最佳策略仍然是不抛硬币，正确率为$50%$。

当$N=2,\varepsilon->0$时，$q_1=0,q_2=1$最容易区分，只需抛$1$次硬币，正确率为$100%$。

当$N=3,\varepsilon->0$时，最容易区分的硬币组可能是$q_1=0,q_2=1/2,q_3=1$。

当$N>3$时，情况比较复杂，看谁给出的结果更有说服力。