角度和问题

数学星空

已知在一条直线$L(y=k*x+a)$ 的一侧有四个点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$,在直线$L$上求一点$P(x_0,y_0),$使得
设$x_1>x_2>x_3>x_4$,$angle(APB)=alpha,angle(CPD)=beta$.

(1)$alpha+beta $最大?
(2)$1/alpha+1/beta $最小?

gxqcn

这个题蛮有趣的，感觉难度也不小。

我现在想到一个相对简单的问题（但我不会做）：过直线同侧的两个定点，如何作一圆使之与该直线相切？
显然，直线上的点对两已知点的张角在切点处达到最大值。

gxqcn

我猜想：楼主问题的结果，应该位于用上贴方法作得的两个切点之间的某个点上。

gxqcn

我突然明白了，可利用“切割线定理”作出该圆。
谢谢 hujunhua 的点评。

gxqcn

注意：当两定点连线与已知直线不平行时，可以作出两个相切圆，
需选择张角比较大的那个。

mathe

对于这个问题感觉还是直接数值计算的好

hujunhua

若说该题的趣味性，我倒觉得把P点限制在一条直线上可能是败笔。限制在ABCD所在平面内没有极值点吗？

gxqcn

限定在直线上，因为它们都在该直线同侧。

如果仅限定在ABCD所在平面上，是否还要约定该角是否为“有向角”等问题？
比如说，可以选择适当的点P，让 ∠APB=180°，甚至接近360°.

数学星空

没想到:取最特殊的情形$(k=0,y_1=y_2=y_3=y_4=d)$
作代数计算居然表达式长度超出软件允许范围.
对于$(1)$取极值的条件为$20$次代数方程(可能能分解因式)

注:对于一般情形取极值条件具体形式为
$(c_30+c_31*x_0+c_32*x_0^2+c_33*x_0^3+c_34*x_0^4+c_35*x_0^5)/((b_30+b_31*x_0+b_32*x_0^2+b_33*x_0^3+b_34*x_0^4)*sqrt(d_30+d_31*x_0+d_32*x_0^2))+$
$(c_40+c_41*x_0+c_42*x_0^2+c_43*x_0^3+c_44*x_0^4+c_45*x_0^5)/((b_40+b_41*x_0+b_42*x_0^2+b_43*x_0^3+b_44*x_0^4)*sqrt(d_40+d_41*x_0+d_42*x_0^2))=0$

数学星空

做了一个数值计算:
取$k=2,a=1,x1=2,y1=7,x2=5,y2=17,x3=9,y3=30,x4=13,y4=29$
取直线$L$的$100$个点$(x_n=n,y_n=2*n+1,n=1..100)$
计算得到下图
对于$(1)$ $x$轴为$x_n$,$y$轴为对应的$alpha+beta$值


对于$(2)$ $x$轴为$x_n$,$y$轴为$1/alpha+1/beta$值