一道数论题

liangbch

我们知道如下等式
$3^2-2^3=1$
$3^3-5^2=2$
$2^8-5^3=3$
现在，我提出一个2问题，不知能否解决。

1.对于一个给定的小的正整数c，满足不定方程$a^m-b^n=c$且a>1,b>1,m>1,n>1,的整数解(a,b,m,n)是有限的。
2.如果能够证明1，可否有出求方程1的解的通过算法。


注：
1. 或许(1)中的方程不能叫做不定方程，因为其指数也是未知数。
2. 对于c=1,在a和b的素因子不超过某个数的情况下，其解是有限的，它是Stormer's theorem的一个特例，见http://en.wikipedia.org/wiki/St%C3%B8rmer%27s_theorem

liangbch

这种数确实很少。

    我扫描了$2^50$以内的乘方数（若 $n=i ^ e$, (i,e是整数，且i>1,e>1)则称n是乘方数），检查相邻2个数之间的差，若<=16,则输出。结果为

c=[1]
        9-8=1   9=3^2   8=2^3

c=[2]
        27-25=2 27=3^3  25=5^2

c=[3]
        128-125=3       128=2^7 125=5^3

c=[4]
        8-4=4   8=2^3   4=2^2
        36-32=4 36=6^2  32=2^5
        125-121=4       125=5^3 121=11^2

c=[5]
        32-27=5 32=2^5  27=3^3

c=[7]
        16-9=7  16=2^4  9=3^2
        32768-32761=7   32768=2^15      32761=181^2

c=[8]
        97344-97336=8   97344=312^2     97336=46^3


c=[9]
        25-16=9 25=5^2  16=2^4
        225-216=9       225=15^2        216=6^3
        64009-64000=9   64009=253^2     64000=40^3


c=[10]
        2197-2187=10    2197=13^3       2187=3^7


c=[11]
        3136-3125=11    3136=56^2       3125=5^5
        3375-3364=11    3375=15^3       3364=58^2


c=[12]
        2209-2197=12    2209=47^2       2197=13^3


c=[13]
        49-36=13        49=7^2  36=6^2
        256-243=13      256=2^8 243=3^5
        4913-4900=13    4913=17^3       4900=70^2


c=[15]
        64-49=15        64=2^6  49=7^2
        1295044-1295029=15      1295044=1138^2  1295029=109^3


c=[16]
        144-128=16      144=12^2        128=2^7

数学星空

对于比较小的$c$值,通常取$m/n~~ln(b)/ln(a)$
可以用连分数来逼近$m/n$的值，这样更容易搜到解

liangbch

有道理

liangbch

给出求渐进连分数的代码，方便自己和别人参考。

1. #include "stdafx.h"
   
2. #include "math.h"
   
3. 
   
4. typedef int BASE_INT_TYPE;
   
5. typedef __int64 DOUBLE_INT_TYPE;
   
6. 
   
7. typedef struct _base_pair
   
8. {
   
9.         DOUBLE_INT_TYPE p;
   
10.         DOUBLE_INT_TYPE q;
    
11. }BASE_PAIR;
    
12. 
    
13. typedef struct _base_pair_3e
    
14. {
    
15.         BASE_PAIR d[3];
    
16. }BASE_PAIR_3E;
    
17. 
    
18. void continued_frac_serial(double f)
    
19. {
    
20.         BASE_INT_TYPE a[2];
    
21.         BASE_PAIR_3E pqs;
    
22.         double cf,tf;
    
23.         int i;
    
24.        
    
25.         tf=f;
    
26.         pqs.d[0].p=a[0]=(BASE_INT_TYPE)(tf);
    
27.         pqs.d[0].q=1;
    
28.         cf=(double)(pqs.d[0].p)/(double)(pqs.d[0].q);
    
29.         printf("\nf=%.16f\n[0]:%I64d/%I64d=%.16f\n",f,pqs.d[0].p,pqs.d[0].q,cf);
    
30. 
    
31.         tf -= a[0];
    
32.         tf=1.0/tf;
    
33.         for (i=1;1;i++)
    
34.         {
    
35.                 a[1]= (BASE_INT_TYPE)(tf);
    
36.                 tf -= a[1];
    
37.                 tf=1.0/tf;
    
38.                
    
39.                 if (i==1)
    
40.                 {
    
41.                         pqs.d[1].p = pqs.d[0].p * a[1] +1;        //p1=a0 * a1+1
    
42.                         pqs.d[1].q = a[1];                //q1=a1
    
43.                         cf=(double)(pqs.d[1].p)/(double)(pqs.d[1].q);
    
44.                 }
    
45.                 else
    
46.                 {
    
47.                         pqs.d[2].p= pqs.d[1].p * a[1] +  pqs.d[0].p;  //p[n]= a[n] * p[n-1] + p[n-2];
    
48.                         pqs.d[2].q= pqs.d[1].q * a[1] +  pqs.d[0].q;  //q[n]= a[n] * q[n-1] + q[n-2];
    
49.                         cf=(double)(pqs.d[2].p)/(double)(pqs.d[2].q);
    
50.                 }
    
51.                
    
52.                 printf("[%d]:%I64d/%I64d=%.16f\n",i,pqs.d[1].p,pqs.d[1].q,cf);
    
53.                 if ( fabs(cf-f) < f * 2.3e-16)
    
54.                 {
    
55.                         break;
    
56.                 }
    
57.                
    
58.                 a[0]=a[1];
    
59.                 if (i>=2)
    
60.                 {
    
61.                         pqs.d[0].p=pqs.d[1].p;
    
62.                         pqs.d[0].q=pqs.d[1].q;
    
63.                         pqs.d[1].p=pqs.d[2].p;
    
64.                         pqs.d[1].q=pqs.d[2].q;
    
65.                 }
    
66.         }
    
67. }
    
68. 
    
69. void test1()
    
70. {
    
71.         double f;
    
72.         f=3.1415926535897932384626433832795;
    
73.         continued_frac_serial(f);       
    
74.         f=log(3.0)/log(2.0);         continued_frac_serial(f);
    
75.         f=log(5.0)/log(2.0);         continued_frac_serial(f);
    
76. }
    
77. 
    
78. int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    
79. {
    
80.         test1();
    
81.         return 0;
    
82. }

复制代码

manthanein

https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
这好像是个没有解决的问题