一道数论题

liangbch · 发表于 2012-3-2 10:53:25

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我们知道如下等式 $3^2-2^3=1$ $3^3-5^2=2$ $2^8-5^3=3$ 现在，我提出一个2问题，不知能否解决。 1.对于一个给定的小的正整数c，满足不定方程$a^m-b^n=c$且a>1,b>1,m>1,n>1,的整数解(a,b,m,n)是有限的。 2.如果能够证明1，可否有出求方程1的解的通过算法。注： 1. 或许(1)中的方程不能叫做不定方程，因为其指数也是未知数。 2. 对于c=1,在a和b的素因子不超过某个数的情况下，其解是有限的，它是Stormer's theorem的一个特例，见http://en.wikipedia.org/wiki/St%C3%B8rmer%27s_theorem

liangbch · 发表于 2012-3-2 14:46:18

这种数确实很少。我扫描了$2^50$以内的乘方数（若 $n=i ^ e$, (i,e是整数，且i>1,e>1)则称n是乘方数），检查相邻2个数之间的差，若<=16,则输出。结果为 c=[1] 9-8=1 9=3^2 8=2^3 c=[2] 27-25=2 27=3^3 25=5^2 c=[3] 128-125=3 128=2^7 125=5^3 c=[4] 8-4=4 8=2^3 4=2^2 36-32=4 36=6^2 32=2^5 125-121=4 125=5^3 121=11^2 c=[5] 32-27=5 32=2^5 27=3^3 c=[7] 16-9=7 16=2^4 9=3^2 32768-32761=7 32768=2^15 32761=181^2 c=[8] 97344-97336=8 97344=312^2 97336=46^3 c=[9] 25-16=9 25=5^2 16=2^4 225-216=9 225=15^2 216=6^3 64009-64000=9 64009=253^2 64000=40^3 c=[10] 2197-2187=10 2197=13^3 2187=3^7 c=[11] 3136-3125=11 3136=56^2 3125=5^5 3375-3364=11 3375=15^3 3364=58^2 c=[12] 2209-2197=12 2209=47^2 2197=13^3 c=[13] 49-36=13 49=7^2 36=6^2 256-243=13 256=2^8 243=3^5 4913-4900=13 4913=17^3 4900=70^2 c=[15] 64-49=15 64=2^6 49=7^2 1295044-1295029=15 1295044=1138^2 1295029=109^3 c=[16] 144-128=16 144=12^2 128=2^7

数学星空 · 发表于 2012-3-2 23:09:42

对于比较小的$c$值,通常取$m/n~~ln(b)/ln(a)$ 可以用连分数来逼近$m/n$的值，这样更容易搜到解

liangbch · 发表于 2012-3-3 13:36:22

有道理

liangbch · 发表于 2012-3-5 18:14:05

给出求渐进连分数的代码，方便自己和别人参考。

#include "stdafx.h"
#include "math.h"
typedef int BASE_INT_TYPE;
typedef __int64 DOUBLE_INT_TYPE;
typedef struct _base_pair
{
DOUBLE_INT_TYPE p;
DOUBLE_INT_TYPE q;
}BASE_PAIR;
typedef struct _base_pair_3e
{
BASE_PAIR d[3];
}BASE_PAIR_3E;
void continued_frac_serial(double f)
{
BASE_INT_TYPE a[2];
BASE_PAIR_3E pqs;
double cf,tf;
int i;
tf=f;
pqs.d[0].p=a[0]=(BASE_INT_TYPE)(tf);
pqs.d[0].q=1;
cf=(double)(pqs.d[0].p)/(double)(pqs.d[0].q);
printf("\nf=%.16f\n[0]:%I64d/%I64d=%.16f\n",f,pqs.d[0].p,pqs.d[0].q,cf);
tf -= a[0];
tf=1.0/tf;
for (i=1;1;i++)
{
a[1]= (BASE_INT_TYPE)(tf);
tf -= a[1];
tf=1.0/tf;
if (i==1)
{
pqs.d[1].p = pqs.d[0].p * a[1] +1; //p1=a0 * a1+1
pqs.d[1].q = a[1]; //q1=a1
cf=(double)(pqs.d[1].p)/(double)(pqs.d[1].q);
}
else
{
pqs.d[2].p= pqs.d[1].p * a[1] + pqs.d[0].p; //p[n]= a[n] * p[n-1] + p[n-2];
pqs.d[2].q= pqs.d[1].q * a[1] + pqs.d[0].q; //q[n]= a[n] * q[n-1] + q[n-2];
cf=(double)(pqs.d[2].p)/(double)(pqs.d[2].q);
}
printf("[%d]:%I64d/%I64d=%.16f\n",i,pqs.d[1].p,pqs.d[1].q,cf);
if ( fabs(cf-f) < f * 2.3e-16)
{
break;
}
a[0]=a[1];
if (i>=2)
{
pqs.d[0].p=pqs.d[1].p;
pqs.d[0].q=pqs.d[1].q;
pqs.d[1].p=pqs.d[2].p;
pqs.d[1].q=pqs.d[2].q;
}
}
}
void test1()
{
double f;
f=3.1415926535897932384626433832795;
continued_frac_serial(f);
f=log(3.0)/log(2.0); continued_frac_serial(f);
f=log(5.0)/log(2.0); continued_frac_serial(f);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
test1();
return 0;
}

复制代码

manthanein · 发表于 2017-1-23 15:37:03

https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_conjecture
这好像是个没有解决的问题

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