快刀斩乱麻问题

数学星空

有一条长为100m的线被随机地切割成很多段，这些小段的平均长度为1cm,问长度介于4cm-5cm 的线段约有多少？

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这是数学建模问题，不同的模型得到的答案不一样。 首先小段的数量为$(100m)/(1cm)=10000$段，切割点有$10000-1=9999$个。 模型$1$： 切割点的位置是$(0,100)$中均匀分布的随机数，$9999$个切割点相互独立。 模型$2$： 切第$n$刀时，先随机地从$n$段中选$1$段（每段被选中的概率均为$1/n$），然后在这段中随机地选$1$个点切开。 （以下模型是拿来当笑话讲的） 模型$3$： 长度为$100$的$2$维连续光滑曲线有(阿列夫$2$)种，我们随机选$1$种，记为曲线$C$。 假设我们的刀走的是直线。直线有(阿列夫$1$)种。我们随机选$1$种，记为直线$L$。 曲线$C$和直线$L$的交点个数记为$P(C,L)$。 曲线$C$被直线$L$切割后，长度介于$4cm$-$5cm$ 的线段的个数记为$N(C,L)$。 所求的结果就是：当$P(C,L)=9999$时，$N(C,L)$的期望值。 即：$E(N(C,L)|P(C,L)=9999)=?$ 模型$4$： 把模型$3$中的直线改为曲线，即刀走的也是曲线。 模型$5$： 把$2$维改成$3$维，刀切线改为刀切面。 模型$6$： 刀切面改为刀切曲面。 模型$7$： 刀切曲面并不是完全随机的。 因为我们是用手挥刀的，所以有很多刀切曲面都无法通过实际的操作得到。 我们把手腕、手肘、手臂的三维模型建起来，模拟手腕、手肘、手臂的转动过程，得出在实际操作中，能挥出各种刀切曲面的概率。 模型$8$： 线是某种材料制成的。并不是所有的曲线都能在现实中摆出来的。我们应该根据材料的特点，求出该线摆成各种曲线的概率。 ……

数学星空

这是一个很经典的问题，当然也有比较满意的答案 可以读读下面的论文 快刀斩乱麻问题.pdf (85.49 KB, 下载次数: 5)

2012-3-5 20:52 上传

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wayne

扫了一眼，论文关键的结论就是， 线段的长度x 服从的概率密度函数是： $f(x) =1/X *e^{-x/X}$ X 为平均长度

wayne

感觉没有论文里的那么多事，呵呵，可以这么考虑： 沿着线段的尺度方向建立一维坐标轴，下刀点的位置Y，那么，可以认为 Y 服从 [0,L]的均匀分布。 问题就是 产生N-1个这样的均匀分布的随机数Y，从小到大 进行排序。 求 P {a< |Y_i-1 -Y_i|