求解一个方程

LZC_314

$sqrta+sqrtb+sqrtc=(sqrt3)/2$
$sqrt{x-c}+sqrt{y-c}=1$
$sqrt{z-a}+sqrt{y-a}=1$
$sqrt{x-b}+sqrt{z-b}=1$

求x，y，z(结果可以用a，b，c表示)

mathe

设 $X=\sqrt{x-b},Y=\sqrt{y-c},Z=\sqrt{z-a}$
我们有
$(x-c)=(1-Y)^2$
即$X^2+b-c=(1-Y)^2$
同样有$Y^2+c-a=(1-Z)^2,Z^2+a-b=(1-X)^2$
于是我们只需要求解三元二次方程组
${(X^2+b-c=(1-Y)^2),(Y^2+c-a=(1-Z)^2),(Z^2+a-b=(1-X)^2):}$
然后三式相加得到
$0=3-2(Y+Z+X)$,所以$X+Y+Z=3/2$由此我们可以消去一个变量变成二元二次方程组
${(X^2+b-c=(Y-1)^2),(Y^2+c-a=(X+Y-1/2)^2):}$
其中第二条方程Y只有一次，得到$Y={c-a-(X-1/2)^2}/{2(X-1/2)}$
代入消去Y得到一个X的四次方程，解四次方程即可
根据wolframapha,X满足的四次方程应该是
$48X^4-96X^3+(-32a+64b-32c+24)X^2+(-32a-64b+96c+24)X-16a^2+32ac+24a+16b-16c^2-40c-9=0$

LZC_314

2# mathe


解法不错，理清思路了，多谢多谢