一种策略游戏

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甲方初始手头有两个数a和b，乙方初始手头有两个数c和d；
甲先；
一方轮流从对方那里取一个数(不能是N的倍数)加到自己的一个数(不能是N的倍数)中；
最后谁的两个数都是N的倍数，那么就获胜。
求：
a=b=c=d=1,N=10时，甲乙方，胜败和？

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N=10时，针对不同的a、b、c、d，不超过10000种局面。
编程计算，居然只有部分局面有定论（或胜或负或和），大部分局面不能确定胜负和。
糊涂了。

hujunhua

所谓取一个数，是copy还是cut? 应该是copy吧。

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copy

mathe

很多局面不能判断胜负很正常，说明游戏可以不中止。

hujunhua

和就是不中止(陷入循环)的情况吧。连和都不能判，就不对了吧？

hujunhua

倒着来。当两人手中都有一数归零（mod10）后，就只有81种局面，而且不存在策略了。这81种局面不难划分出胜负和。
红色为先胜局面（37个），黑色为先负局面（28个）：
{11} → {12} → {23} → {35} →{58} →{83} → {31} → {14} → {45} → {59} → {94} → {43} →{37} → {70}
{22} → {24} → {46} → {60},
{33} → {36} → {69} → {95} → {54} → {49} → {93} → {32} → {25} → {57} → {72} → {29} → {91} → {10},
{44} → {48} → {82} → {20},
{55} → {50},
{66} → {62} → {28} → {80},
{77} → {74} → {41} → {15} → {56} → {61} → {17} → {78} → {85} → {53} → {38} → {81} → {19} → {90},
{88} → {86} → {64} → {40},
{99} → {98} → {87} → {75} → {52} → {27} → {79} → {96} → {65} → {51} → {16} → {67} → {73} → {30}


判和的局面共16个，形成2个循环，一个短循环 {2, 6} → {6, 8} → {8, 4} → {4, 2} → {2, 6}，
一个长循环{1, 3} → {3, 4} → {4, 7} → {7, 1} → {1, 8} → {8, 9} → {9, 7} → {7, 6} → {6, 3} → {3, 9} → {9, 2} → {2, 1} → {1, 3}


局面的表示方式：先动手的数放在前面。所以局面的变化规则为{a, b} → {b, a+b}

mathe

是每个人两个数，总共两个人四个数，所以实际上是55*55种情况，用计算机还是比较容易解决的

hujunhua

然后研究3数局面（一数已归零）。3数局面共计9×9×9×2个

mathe

倒着来。当两人手中都有一数归零（mod10）后，就只有81种局面，而且不存在策略了。这81种局面不难划分出胜负和。
红色为先胜局面（37个），黑色为先负局面（28个）：
{11} → {12} → {23} → {35} →{58} →{83} ...
hujunhua 发表于 2012-4-11 17:28

如果两个人手中都有一个数归零，除了使用对手手中非零数，还可以选择使用对手手中的0（也就是仅交换两数），所以转移的边不是一条，而是两条。
我们知道，对于两个局面，已经知道先手胜的局面是两数之和为10，即
{19}{28}{37}{46}{55}{64}{73}{82}{91}
而{00}局面是不可能出现的。
而如果一个局面它的两个变换都是上面9种之一，那么是失败的局面，但是在可以选择0的情况下，是不会出现这样的局面的，所以只要避免留给对手上面9种局面即可以保持不败。由此，对于已经有两个人手中都有一个零的情况，通常应该是平局。