淘金赛的最佳下注策略

KeyTo9_Fans

赛场上有$N$枚金币。($N$是奇数)

两个玩家进行淘金比赛。

初始时两个玩家的手里都有数目相同的一笔钱，该数目记为单位$1$。

然后进行$N$个回合的下注，对于每$1$回合：

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两个玩家同时下注。

玩家$A$的下注额记为$a$，玩家$B$的下注额记为$b$，下注额不得大于当前拥有的钱数。

如果$a>b$，则玩家$A$获得$1$枚金币，并将所下金额$a$付给玩家$B$。

如果$a<b$，则玩家$B$获得$1$枚金币，并将所下金额$b$付给玩家$A$。

如果$a=b$，则抛一枚硬币来决定谁获得金币并付钱给对方。
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$N$个回合结束后，比较两个玩家获得的金币枚数。

金币枚数较多的一方获得比赛胜利，赢得赛场上的$N$枚金币及$2$单位的钱；

金币枚数较少的一方则输掉该比赛，交出当前获得的所有金币及手里的钱给赢家。

已知$N$，求最佳的下注策略。

例如：

$N=1$的下注策略是最简单的，直接全下就可以了。

如果对方不全下，则我方获胜；如果对方也全下，则双方各有$50%$的概率获胜。

mathe

游戏双方资金绝对数值不重要，只需要知道比例就可以了。
所以游戏的任何中间状态为，两者资金比例r (0<=r<=1),余下金币数N,资金少的玩家领先金币数目M.
我们需要计算资金少的玩家赢的概率f(r,N,M)以及相应的最佳策略。(如果出现平局，我们将平局看成1/2概率赢）
根据对称性，我们知道对于M<0,显然必然有f(r,N,M)=0.而如果M>=N+1,那么必然有f(r,N,M)=1.
所以我们只需要确定M=0,1,...,N之间范围的情况。
比如对于N=1,那么对于0<=r<1,我们可以得出f(r,1,0)=0,f(1,1,0)=1/2. f(r,1,1)=0.5,f(1,1,1)=0.75
如果对r进行离散化，我们应该可以进行近似计算。

KeyTo9_Fans

为什么只能近似计算而不能精确计算？

对于$N=1$，只有$r=1$的时候函数值才发生变化。

对于更大的$N$，不也是仅有有限个$r$值使得函数值发生变化吗？

mathe

精确计算应该也可以，但是应该会非常复杂

KeyTo9_Fans

回过头来一想，发现$N=3$的下注策略也挺简单的：第$1$轮下$0.5$

分析如下：

如果对手所下金额大于$0.5$，拿去了第$1$枚金币，

那么对手手里的钱就小于$0.5$了，而我们手里的钱就多于$1.5$了，

于是接下来的$2$轮我们依次下$0.5$和$1$，

结果都比对方手里的钱还多，

于是我们稳获剩下的$2$块金币赢得比赛

如果对手所下金额小于$0.5$，那么我们赢得第$1$枚金币，手里剩下$0.5$的钱，

于是接下来的$2$轮我们均全下，

对手想不输，只能依次下$0.5$和$1$，均和我们所下的钱数相等，

于是接下来的$2$轮都是抛硬币决定金币归谁，

而我们只要再拿$1$枚金币就赢了，

所以我们的胜利概率是$75%$，大于$50%$

所以对手想让赢的概率至少为$50%$，第$1$轮也只能下$0.5$，

结果$3$轮都是抛硬币来决定金币归谁，双方的胜率各为$50%$。

综上所述，第$1$轮下$0.5$是最佳策略

KeyTo9_Fans

当$N=5$时，需逐一分析双方所有可能的得分，然后得出下表：

我方得分　对方得分　我方钱数、胜负和最佳下注额
　　2　　　　2　　　大于1胜，小于1负，等于1胜率0.5，最佳下注额1
　　2　　　　1　　　大于0.5胜，小于0.5负，等于0.5胜率0.75，最佳下注额0.5
　　1　　　　2　　　大于1.5胜，小于1.5负，等于1.5胜率0.25，最佳下注额0.5
　　1　　　　1　　　大于1胜，小于1负，等于1胜率0.5，最佳下注额0.5
　　2　　　　0　　　大于0.25胜，小于0.25负，等于0.25胜率0.875，最佳下注额0.25
　　0　　　　2　　　大于1.75胜，小于1.75负，等于1.75胜率0.125，最佳下注额0.25
　　1　　　　0　　　大于0.625胜，小于0.625负，等于0.625胜率0.6875，最佳下注额0.375
　　0　　　　1　　　大于1.375胜，小于1.375负，等于1.375胜率0.3125，最佳下注额0.375
　　0　　　　0　　　大于1胜，小于1负，等于1胜率0.5，最佳下注额0.375

得到我方第$1$轮的最佳下注额为$0.375$，此时：

如果对方的下注额小于$0.375$，则我方得$1$枚金币，我方钱数剩下$0.625$，然后根据上表可知我方胜率为$0.6875$，我方占优；

如果对方的下注额大于$0.375$，则对方得$1$枚金币，我方钱数大于$1.375$，然后根据上表可知我方必胜；

所以对方为了不处于劣势，第$1$轮只能下注$0.375$，于是抛硬币决定金币归谁。

于是第$1$轮结束后，我方有：

$0.5$的概率会去到（$1$：$0$，$0.625$）的局面，胜率为$0.6875$；

$0.5$的概率会去到（$0$：$1$，$1.375$）的局面，胜率为$0.3125$；

最终获胜概率为$0.5$。