请教一个“多少”问题

平常心

在有限数量范围内，多少比较容易判断，当数量达到无限大时，比较相互之间的多少就有点麻烦。正如有人所言：“在无穷大的世界里，部分可能等于全部！”
例如，将所有自然数自然数分为两部分：一部分数的个位数字等于1；其余为另一部分。当我们对这些自然数给定一个范围时（如：一千或一亿以内），显然前一部分的数多于后一部分。但这两部分的数字可以建立起一一对应关系，也就是说它们是相等的。
我的问题是：当我们将自然数（或者其他无情多的数）划分为两部分时，有没有比较它们多少的标准办法？

sheng_jianguo

现代集合论的规定是：
如集合A与集合B之间有“一一对应”函数关系，则称A与B等势，即通俗讲的“一样多”
如集合A只能与集合B的真子集合之间有“一一对应”函数关系，则称A势小于B等势，即通俗讲的“A比B少”

对于自然数，划分为两部分时，只有两种可能：
1.其中有一个是有限集合时，有限集合哪个集合比另一个集合“少”
2.两个都是无限集合时，两个集合“一样多”

平常心

谢谢！
有限集合比较容易理解。
问题是无限集合可以看作是由有限集合演化而来的。例如，随着数值范围的扩大，质数与合数的比值不断减小。但一旦范围扩大到整个自然数，就来了个大转变：无穷个质数与无穷个合数突然变得“一样多”了！数学家是如何解答这个转变的呢？

jsliyuan

试一下

sheng_jianguo

谢谢！
...但一旦范围扩大到整个自然数，就来了个大转变：无穷个质数与无穷个合数突然变得“一样多”了！数学家是如何解答这个转变的呢？ 平常心 发表于 2012-6-4 22:26

由于受习惯势力的影响，当有限扩展无限时必然会产生不少困惑。
下面举个例子，不知是否能理解到有限和无限的不同：
$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-frac{1}{n+1}$
$\sum_{k=1}^{n} \frac{4}{k(k+1)(k+2)}=1-frac{2}{(n+1)(n+2)}$
所以，对任何正整数n，$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}<\sum_{k=1}^{n} \frac{4}{k(k+1)(k+2)}$
那么，$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{k(k+1)(k+2)}$成立？
事实上，$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{k(k+1)(k+2)}=1$,故上面式子是不成立。

平常心

再次感谢！
我正在整理一个小小的证明。尽管“小”，我仍然努力使我的证明严密一些。我想，今后我需要各位朋友更多的指导。