给两个数列，求通项公式

KeyTo9_Fans

以下是两个数列的前$47$（$48$）项，能否找到这两个数列的通项公式？

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9. 9: 1261
10. 10: 3162
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12. 12: 20062
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17. 17: 2198319
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19. 19: 14674786
20. 20: 38046960
21. 21: 98850167
22. 22: 257322077
23. 23: 671059053
24. 24: 1752984007
25. 25: 4586522589
26. 26: 12018111117
27. 27: 31535372401
28. 28: 82857873294
29. 29: 217977426426
30. 30: 574118644453
31. 31: 1513829604205
32. 32: 3995880266682
33. 33: 10558077824585
34. 34: 27923680022748
35. 35: 73918962617142
36. 36: 195846538869896
37. 37: 519320475327962
38. 38: 1378155865815804
39. 39: 3660070696078186
40. 40: 9727353975307536
41. 41: 25870262116741101
42. 42: 68848640648307625
43. 43: 183343983121697935
44. 44: 488544036499510641
45. 45: 1302555334957192985
46. 46: 3474835889764462381
47. 47: 9274891794222884640

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7. 7: 103
8. 8: 256
9. 9: 640
10. 10: 1609
11. 11: 4063
12. 12: 10300
13. 13: 26210
14. 14: 66932
15. 15: 171484
16. 16: 440671
17. 17: 1135523
18. 18: 2933413
19. 19: 7595645
20. 20: 19710526
21. 21: 51251774
22. 22: 133517344
23. 23: 348442325
24. 24: 910835269
25. 25: 2384625721
26. 26: 6252183786
27. 27: 16414873268
28. 28: 43152291673
29. 29: 113579440633
30. 30: 299293015600
31. 31: 789529057034
32. 32: 2084922974777
33. 33: 5511118626337
34. 34: 14581307480516
35. 35: 38613639576363
36. 36: 102342144076903
37. 37: 271469442555772
38. 38: 720649915075087
39. 39: 1914476235079754
40. 40: 5089605352165630
41. 41: 13539849019412505
42. 42: 36043503890112533
43. 43: 96009070192749083
44. 44: 255893280856651835
45. 45: 682427874226260037
46. 46: 1820943030732356592
47. 47: 4861482043960038223
48. 48: 12985695954249973924

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KeyTo9_Fans

第$1$个数列的递推式已经找到。 当$i>3$时： $a(i,j)=a(i-1,j)+b(i-1,j)+b(i-4,j-1)$， $b(i,0)=b(i-1,0)+a(i-1,1)$， $b(i,j)=a(i,j)+a(i-1,j+1)+b(i-2,j-1)+b(i-3,j-1)$，$(j>0)$ 当$i\leq 3$时，初值为： $b(0,0)=1$， $b(1,0)=1$， $b(2,0)=1$， $b(2,1)=1$， $b(3,0)=1$， $a(3,1)=1$， $b(3,1)=3$， 其余初值为$0$。 第$1$个数列就是：

1. for i=1 to 47:
2. 输出："i: b(i+1,1)"

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有了上面的递推式，如何求出第$1$个数列的通项公式？（只要求出近似的公式就可以了。）

wayne

可以试试二维的z变换 不过，也挺复杂的 、

KeyTo9_Fans

不懂$z$变换。 如果有具体的定义和一些例子就好了。 不知道应用于$2#$的递推式的复杂程度如何。 ##### 第$2$个数列的递推式还没有找到。 等我找到递推式之后，希望可以证明这个命题： —————————— 两个数列的增长速度是一样的。 ——————————

mathe

你这个递推式太复杂了，还是二维的，是不是有什么背景？

plp626

理论上符合前有限项的通项公式有无穷个； 缺条件； 。。。

wayne

6# plp626 恩，理论上，n项的的数列，其通项公式总可以用含有n各参数的公式 插值出来。 最简单的就是 拉格朗日插值法了

plp626

7# wayne 很多公务员考试题就有给定前几项，选择下一项，就是杂凑； 好像是符合自然数规律了， 可理论上可以是任何数， 不知大家怎么看这类题。。。

hujunhua

但是我们心目中有一个最佳通项。最佳通项的标准我觉得有以下几条： 1、公式形式简明、初等 2、如果初项为单调递增，拓展项保持单调递增。

KeyTo9_Fans

第$2$个数列的递推式如下： 当$i>5$时： $a(i,j)=a(i-1,j)+b(i-2,j-1)+a(i-2,j+1)+b(i-3,j)+a(i-3,j+1)+2b(i-4,j)+a(i-4,j+1)+b(i-5,j)$ $b(i,0)=b(i-1,0)+a(i-1,1)+b(i-2,0)$ $b(i,j)=a(i-1,j)+b(i-1,j)+a(i-1,j+1)+b(i-2,j-1)+b(i-2,j)$，$(j>0)$ 当$i\leq 5$时，初值为： $b(3,0)=1$ 其余初值为$0$。 第$2$个数列就是： $b(i+4,1)-b(i+3,1)$，$(1\leq i\leq 48)$ 如何求该数列的增长速度（$i$很大时相邻两项的比值）？ 如何根据$2#$和$10#$的递推式，说明$1#$的$2$个数列的增长速度是一样的？