给两个数列，求通项公式

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-6-6 21:37:13

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以下是两个数列的前$47$（$48$）项，能否找到这两个数列的通项公式？

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18: 5672908
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25: 4586522589
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27: 31535372401
28: 82857873294
29: 217977426426
30: 574118644453
31: 1513829604205
32: 3995880266682
33: 10558077824585
34: 27923680022748
35: 73918962617142
36: 195846538869896
37: 519320475327962
38: 1378155865815804
39: 3660070696078186
40: 9727353975307536
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42: 68848640648307625
43: 183343983121697935
44: 488544036499510641
45: 1302555334957192985
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47: 9274891794222884640

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22: 133517344
23: 348442325
24: 910835269
25: 2384625721
26: 6252183786
27: 16414873268
28: 43152291673
29: 113579440633
30: 299293015600
31: 789529057034
32: 2084922974777
33: 5511118626337
34: 14581307480516
35: 38613639576363
36: 102342144076903
37: 271469442555772
38: 720649915075087
39: 1914476235079754
40: 5089605352165630
41: 13539849019412505
42: 36043503890112533
43: 96009070192749083
44: 255893280856651835
45: 682427874226260037
46: 1820943030732356592
47: 4861482043960038223
48: 12985695954249973924

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KeyTo9_Fans · 发表于 2012-6-15 10:10:27

第$1$个数列的递推式已经找到。

当$i>3$时：
$a(i,j)=a(i-1,j)+b(i-1,j)+b(i-4,j-1)$，
$b(i,0)=b(i-1,0)+a(i-1,1)$，
$b(i,j)=a(i,j)+a(i-1,j+1)+b(i-2,j-1)+b(i-3,j-1)$，$(j>0)$

当$i\leq 3$时，初值为：
$b(0,0)=1$，
$b(1,0)=1$，
$b(2,0)=1$，
$b(2,1)=1$，
$b(3,0)=1$，
$a(3,1)=1$，
$b(3,1)=3$，
其余初值为$0$。

第$1$个数列就是：

for i=1 to 47:
输出："i: b(i+1,1)"

复制代码

有了上面的递推式，如何求出第$1$个数列的通项公式？（只要求出近似的公式就可以了。）

wayne · 发表于 2012-6-15 10:35:32

可以试试二维的z变换
不过，也挺复杂的、

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-6-16 22:36:15

不懂$z$变换。

如果有具体的定义和一些例子就好了。

不知道应用于$2#$的递推式的复杂程度如何。

#####

第$2$个数列的递推式还没有找到。

等我找到递推式之后，希望可以证明这个命题：

——————————
两个数列的增长速度是一样的。
——————————

mathe · 发表于 2012-6-19 16:42:28

你这个递推式太复杂了，还是二维的，是不是有什么背景？

plp626 · 发表于 2012-6-20 15:07:50

理论上符合前有限项的通项公式有无穷个；缺条件；。。。

wayne · 发表于 2012-6-20 15:10:03

6# plp626
恩，理论上，n项的的数列，其通项公式总可以用含有n各参数的公式插值出来。
最简单的就是拉格朗日插值法了

plp626 · 发表于 2012-6-20 16:07:30

7# wayne

很多公务员考试题就有给定前几项，选择下一项，就是杂凑；好像是符合自然数规律了，
可理论上可以是任何数，不知大家怎么看这类题。。。

hujunhua · 发表于 2012-6-20 20:22:18

但是我们心目中有一个最佳通项。最佳通项的标准我觉得有以下几条：
1、公式形式简明、初等
2、如果初项为单调递增，拓展项保持单调递增。

KeyTo9_Fans · 发表于 2012-6-26 00:32:00

第$2$个数列的递推式如下：

当$i>5$时：
$a(i,j)=a(i-1,j)+b(i-2,j-1)+a(i-2,j+1)+b(i-3,j)+a(i-3,j+1)+2b(i-4,j)+a(i-4,j+1)+b(i-5,j)$
$b(i,0)=b(i-1,0)+a(i-1,1)+b(i-2,0)$
$b(i,j)=a(i-1,j)+b(i-1,j)+a(i-1,j+1)+b(i-2,j-1)+b(i-2,j)$，$(j>0)$

当$i\leq 5$时，初值为：
$b(3,0)=1$
其余初值为$0$。

第$2$个数列就是：
$b(i+4,1)-b(i+3,1)$，$(1\leq i\leq 48)$

如何求该数列的增长速度（$i$很大时相邻两项的比值）？

如何根据$2#$和$10#$的递推式，说明$1#$的$2$个数列的增长速度是一样的？

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