求二球时间和距离关系的函数式

yyy_fcz · 发表于 2012-6-20 20:53:44

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同事们在办公室讨论的一道题，不会做，到这里来请教高手。两个球M1和M2相距L，在没有任何外力的情况下会因为万有引力相互靠拢，最后碰撞，再弹开，再慢慢减速，在相互靠拢。（1）求第一次碰撞前的时间t与两球距离l的函数式。（2）求任意时刻t与两球距离的函数式。

wayne · 发表于 2012-6-20 21:27:22

1# yyy_fcz 球多大？这跟数量级有关的。 2个公大象如果没有外力的话，是不会吸引的。

yyy_fcz · 发表于 2012-6-20 21:43:08

就M1和M2吧，在一个没有人任何外力的空间中，只有两个球的吸引力。应该是一个最简单的二体问题吧。

wayne · 发表于 2012-6-20 22:07:41

3# yyy_fcz 碰撞有能量损失吗？另外，球的半径呢？

yyy_fcz · 发表于 2012-6-21 08:39:43

假设是正碰吧，没有能量损失。球的半径分别为r1和r2，r1+r2＜l。

wayne · 发表于 2012-6-21 09:24:42

5# yyy_fcz 同事，办公室，呃，楼主参加工作了怎么还讨论物理题啊？

wayne · 发表于 2012-6-21 12:46:25

微分方程： ${dl}/\sqrt{1/l-1/L} =+-\sqrt(2G(M_1+M_2))dt$ 左边的积分貌似挺复杂的。用软件算了一下，是： $-\frac{L^{\frac{3}{2}}}{2}ArcTan\frac{L-2 l}{2 \sqrt{(L-l)l}}-\sqrt{Ll(L-l)} $

yyy_fcz · 发表于 2012-6-21 21:06:00

呵呵，谢谢！有详细的推导过程么？办公室比较清闲的时候，大家都爱讨论些数学和物理话题。

wayne · 发表于 2012-6-24 13:55:04

8# yyy_fcz 设在第一次碰撞之前，两球分别经过的距离为x,y,相距l. 则 x+y= L-l (1) 根据动量守恒得到：M1*v1=M2*v2 积分得到 M1*x=M2*y. (2) 解得 $x= {M2*(L-l)}/{M1+M2}$ $y= {M1*(L-l)}/{M1+M2}$ 由牛顿第二定理得到 $M1* x''(t) = {GM1*M2}/l^2$ 即： $-{M1*M2* l''(t) }/{M1+M2}= {GM1*M2}/l^2$ 即得微分方程： $l''(t) =-{G(M1+M2)}/l^2$ 分离变量，继而得到楼上的形式

yyy_fcz · 发表于 2012-6-24 19:34:22

谢谢！

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