请教一个不等式的证法

sunwukong · 发表于 2012-7-20 09:37:15

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已知 a,b,p,q 是正整数，a [1+p^(-1)+p^(-2)+…+p^(-a)]*[1+q^(-1)+q^(-2)+…+q^(-b)]

mathe · 发表于 2012-7-20 15:02:21

暴力可破解 $1+p^{-1}+...+p^{-b}={1-p^{-b-1}}/{1-p^{-1}}$ 所以原不等式可以变换成证明 ${1-p^{-b-1}}/{1-p^{-a-1}}>{1-q^{-b-1}}/{1-q^{-a-1}}$ 替换$B=b+1,A=a+1$ 于是变成当$B-A>=1,A>=2$时，证明$f(t)={1-t^B}/{1-t^A}$在$0Bt^(B-1)(1-t^A)$,即$(B-A)t^(B+A-1)-Bt^(B-1)+At^(A-1)>0$ 即$h(t)=(B-A)t^B-Bt^(B-A)+A>0$对于$00,h(1)=0$,而$h'(t)=B(B-A)t^(B-1)-B(B-A)t^(B-A-1)<0$对于$00$对于一切$0

nnd · 发表于 2012-7-20 23:01:21

令p1=p^(-1)，q1=q^(-1),然后两边乘以(1-p1)*(1-q1)

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