请问球坐标向量的叉乘怎么计算啊？

gogdizzy

考虑单位球（半径为1），O为球心，那么可以用经纬度表示球上的一点。
设有球面两点X(经度1，纬度1)  Y(经度2，纬度2)
求Z的经纬度。OZ = OX×OY

我现在的想法是最笨的，就是先将球坐标转化为直角坐标系，求出每个点的(x,y,z)。然后用直角坐标系的向量叉乘
x3 = y1*z2 - y2*z1
y3 = z1*x2 - z2*x1
z3 = x1*y2 - x2*y1

然后再把(x3,y3,z3)转回球坐标。感觉这个方法很笨，不知道有没有更简单的算法。

mathe

符号运算一下看看，比如经度记为$phi$,纬度记为$theta$,那么一个点的坐标就是
$(sin(theta)cos(phi), sin(theta)sin(phi), cos(theta))$
然后计算一下看看，最好用数学软件帮忙看看
有个问题，叉乘结果可能不在单位球上，是不是这个不管？只管纬度？

mathe

感觉没有什么特别的简化方法。还是直接计算吧

gogdizzy

这不就是转到直角坐标系了吗？
按照我写的叉乘公式得到的结果是
$x_1 = sin(theta_1)cos(phi_1)$
$y_1 = sin(theta_1)sin(phi_1)$
$z_1 = cos(theta_1)$

$x_2 = sin(theta_2)cos(phi_2)$
$y_2 = sin(theta_2)sin(phi_2)$
$z_2 = cos(theta_2)$

$x_3 = y_1*z_2 - y_2*z_1 = sin(theta_1)sin(phi_1)cos(theta_2) - sin(theta_2)sin(phi_2)cos(theta_1)$
$y_3 = z_1*x_2 - z_2*x_1 = cos(theta_1)sin(theta_2)cos(phi_2) - cos(theta_2)sin(theta_1)cos(phi_1)$
$z_3 = x_1*y_2 - x_2*y_1 = sin(theta_1)cos(phi_1)sin(theta_2)sin(phi_2) - sin(theta_2)cos(phi_2)sin(theta_1)sin(phi_1)$

$theta_3 = arctan(y_3/x_3)$
$phi_3 = arctan(z_3/sqrt(x_3^2+y_3^2))$

我希望能通过$theta_1$、$phi_1$、$theta_2$、$phi_2$直接用什么解析公式（例如球坐标内的一些定理）算出$theta_3$和$phi_3$，而不经过这个直角坐标系的转化。

gogdizzy

55555555555555555555555555，好吧。

gogdizzy

$phi_3 = arctan(sqrt(x_3^2+y_3^2)/z_3)$

分子分母写反了，更正一下。

mathe

还有你$theta$和$phi$弄反了，另外对于
$phi_3$,其实写成
$phi_3=atan2(y_3,x_3)$
更加好，其中$atan2$是计算机里面经常使用的一个函数，就是代表复数$x_3+iy_3$的幅角

gogdizzy

嗯，我是弄反了。
果然是atan2好用，要不我还要考虑除0的问题，谢谢mathe！

kastin

根据矢量积的定义，用张量的下标表达式来表示就是
由于是正交坐标系，因此坐标轴单位矢量的矢量积遵守右手法则，故有张量表达式
$$a×b=ε_{i,j,k}a_ib_j$$
所以形式跟直角坐标系一样，尽管用，不用坐标系转换。