直线上的点与实数一一对应是真命题吗？

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直线上的点与实数一一对应是真命题吗？ 如何证明的。

mathematica

你几年级呀？初中老师没教过你吗？初一难道没学过吗？

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这个问题没有那么简单，你证明一下就知道了。这里面有连续统问题，也有康托尔集问题，甚至你的证明中会存在罗素悖论。至今我没有找到严格的证明。

Buffalo

你说的直线和实数分别是什么？把定义搞清楚问题就迎刃而解了。

直线上的点与实数一一对应是真命题吗？ 如何证明的。 视频识别 发表于 2012-8-20 10:15

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我在百度上贴的帖子和回复，但是没有能够得到证明，高手帮忙分析一下，看还有没有什么好的证明方法。 楼主：这是我自己的理解和证明，如果有不同意的地方请指出。 设：在一直线上存在这样的一个参考点O,这条直线上所有的点包括O点必须同时以O为参考才具有可测量性。定义这一点O为原点。在这条直线上存在一点a和任意一点b。 证明：若a和b同时以O为参考，那么b到O的距离就可以用k倍的a到O的距离表示： 即，OB=kOA 其中，k属于任意实数。 我们现在把OA定义为单位长度1，那么 OB=k*单位长度 我们想得到的是实数而不是距离，因此消去等式两边的单位长度： OB/OA=k 而我们看到 OB/OA这个比值是实数，且 OB/OA的值与b点的选取有关。当b确定时只有一个唯一的k值与之对应。 同理确定的点c、d、e······也有唯一 的实数值与之一一对应，因此在这条直线上对于任意的一个确定的点而言只有一个实数值与之对应。 负半轴还没证明，但很显然方法是一样的。 追问：谢谢你的回答：“若a和b同时以O为参考，那么b到O的距离就可以用k倍的a到O的距离表示, 即，OB=kOA 其中，k属于任意实数。” 证到这里，其实你已经假定了，K 0A必定在直线上。 所以后面得出的结果必然 K 就在直线上。 但是KOA 在不在直线上呢？ 我们做个大胆的假定， K OA 不在直线上。也就是说： OA 为单位1, K就是一个实数，它本身就不在直线上。（当然我只是说假设） 回答：啊，被你钻空子了。 “在这条直线上存在一点a和任意一点b。”这一句题设有问题，应该改为“在这条直线上存在一点a和直线上任意一点b。” 追问：哈哈，其实你又在假定，“直线上任意一点b“它是在直线上的，但是任意一点B不在直线上呢?其实您还是没有脱离自己证明自己过程，这个过程很想罗素悖论. 回答：不在一条直线上也没关系啊！OA和OB不在一条直线上OB=kOA也成立，进而OB/OA=k成立。 于是“而我们看到 OB/OA这个比值是实数，且 OB/OA的值与b点的选取有关。当b确定时只有一个唯一的k值与之对应。 同理确定的点c、d、e······也有唯一 的实数值与之一一对应” 这里你可能要说、c、d、e也可能不在OB的直线上啊！但那也不妨碍证明，因为我们可以找到c'或c’‘或者更多。而且c'或c’‘与c对应着同一实数。 所以，结论：在OB所在的直线上必定存在一点与c对应的实数相同的一点。所以以此类推，在OB所在的直线上必定存在一点与k对应。 追问：哈哈，你的证明很严禁，证明到“当b确定时只有一个唯一的k值与之对应。”都没有什么错误，并且假定了b不在直线上。后面的c、d、e是递归方法了，你的想法是我们不管b、 c、d、e它到底在不在直线上， 只要能找到那么几个点c'或c’‘在直线上，就可以证明实数就都在直线上了，其实又自己又默认了一次实数与直线上的点一一对应。哈哈，罗素其实就是揪着这点问题不放，才导致了第三次数学危机。 回答：额、、、那怎么办？

manthanein

这个问题确实不简单，据我所知，有一条公理就是这么定的：
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%E2%80%93Dedekind_axiom
不过话说回来，如果它不成立，解析几何还有必要存在吗？