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[讨论] 奎西发动机的缸体曲线

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发表于 2012-9-29 02:51:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
一般的发动机(内燃机)都是将燃气的热能转变成直线往复运动,然后通过曲柄连杆机构将直线往复运动变成迴转运动。通过曲柄-连杆机构来转换运动形式,至少造成以下三方面的不满意:
1、能效损失。
2、由于惯性产生很大的振动和震动,发出很大分贝的噪声。
3、使发动机的体积庞大,结构复杂。
这些是曲柄连杆机构的固有缺点,不可能通过改善润滑和气缸布局(多缸发动机)等完全克服。
甩掉曲柄-连杆机构,直接将燃气热能转变成迴转运动一直是内燃机工程师的梦想。奎西发动机就是这样一种发动机。


图1  带中心托架的奎西发动机动画


                                               图2 简单的奎西发动机示意图
为了设计和制造奎西发动机,在数学上需要构造一条这样的卵形线:它对称于坐标轴,因而有中心在原点的任意方向的内接菱形,并且(最重要的一点),中心内接菱形的边长与菱形的方向无关,是一个定长。

这真是一种奇妙的曲线,难道你不想窥探一下它的方程?

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-9-29 10:17:42 | 显示全部楼层
这种研究具有价值性了,但很费心思
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发表于 2012-9-29 12:40:45 | 显示全部楼层
我来尝试一下:
由于边长不变,所以边长的中点的轨迹是一个 半径恒定的 ,圆心在原点的圆。
于是可以 设棱形 相邻的2点的坐标为
A (R cosa+Rcosb,Rsina+Rsinb)
B (R cosa- Rcosb,Rsina- Rsinb)

a,b不是互相独立的,之间存在制约关系。
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发表于 2012-9-29 13:14:47 | 显示全部楼层
只能从 f是一个封闭曲线 找制约关系,这个应该可以列出一个微分方程
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发表于 2012-9-29 17:17:23 | 显示全部楼层
用极坐标可以得到一个非常简洁的函数方程:
r(theta)^2 +r(theta+pi/2) ^2 =L^2

求解起来也很麻烦
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 楼主| 发表于 2012-9-29 18:07:14 | 显示全部楼层
一个特解(可能是最重要的特解):
$\rho(\theta)=\sqrt{(acos\theta)^2+(bsin\theta)^2}$

从方程看得出它跟椭圆的密切关系,并且可以由尺规作法作出曲线上的点。
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发表于 2012-9-29 18:09:41 | 显示全部楼层
能求出全部解吗
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 楼主| 发表于 2012-9-29 19:36:43 | 显示全部楼层
猜想通解是一个付立叶级数的二次方根:
$\rho=sqrt{a_0+a_1cos(2\theta)+a_2cos(4\theta)+a_3cos(6\theta)+...+a_k cos(2k\theta)+...}$, 其中k>0的偶数时, $a_k=0$
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发表于 2012-10-1 21:03:10 | 显示全部楼层
学习了,这个动画体现的数学思想很美妙。
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发表于 2012-10-11 10:15:38 | 显示全部楼层
好复杂,为啥不顺便讨论一下转子发动机,好像也差不多,结构更加简单。我对这个一点都不懂。

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