奎西发动机的缸体曲线

hujunhua

一般的发动机（内燃机）都是将燃气的热能转变成直线往复运动，然后通过曲柄连杆机构将直线往复运动变成迴转运动。通过曲柄-连杆机构来转换运动形式，至少造成以下三方面的不满意：
1、能效损失。
2、由于惯性产生很大的振动和震动，发出很大分贝的噪声。
3、使发动机的体积庞大，结构复杂。
这些是曲柄连杆机构的固有缺点，不可能通过改善润滑和气缸布局（多缸发动机）等完全克服。
甩掉曲柄-连杆机构，直接将燃气热能转变成迴转运动一直是内燃机工程师的梦想。奎西发动机就是这样一种发动机。


图1  带中心托架的奎西发动机动画


                                               图2 简单的奎西发动机示意图
为了设计和制造奎西发动机，在数学上需要构造一条这样的卵形线：它对称于坐标轴，因而有中心在原点的任意方向的内接菱形，并且（最重要的一点），中心内接菱形的边长与菱形的方向无关，是一个定长。

这真是一种奇妙的曲线，难道你不想窥探一下它的方程？

mathtime

这种研究具有价值性了,但很费心思

wayne

我来尝试一下：
由于边长不变，所以边长的中点的轨迹是一个 半径恒定的 ，圆心在原点的圆。
于是可以 设棱形 相邻的2点的坐标为
A (R cosa+Rcosb,Rsina+Rsinb)
B (R cosa- Rcosb,Rsina- Rsinb)

a,b不是互相独立的，之间存在制约关系。

wayne

只能从 f是一个封闭曲线 找制约关系，这个应该可以列出一个微分方程

wayne

用极坐标可以得到一个非常简洁的函数方程：
r(theta)^2 +r(theta+pi/2) ^2 =L^2

求解起来也很麻烦

hujunhua

一个特解（可能是最重要的特解）：
$\rho(\theta)=\sqrt{(acos\theta)^2+(bsin\theta)^2}$

从方程看得出它跟椭圆的密切关系，并且可以由尺规作法作出曲线上的点。

wayne

能求出全部解吗

hujunhua

猜想通解是一个付立叶级数的二次方根：
$\rho=sqrt{a_0+a_1cos(2\theta)+a_2cos(4\theta)+a_3cos(6\theta)+...+a_k cos(2k\theta)+...}$, 其中k>0的偶数时， $a_k=0$

xhq123

学习了，这个动画体现的数学思想很美妙。

Frankenstein

好复杂，为啥不顺便讨论一下转子发动机，好像也差不多，结构更加简单。我对这个一点都不懂。