一般性数字变换问题之三

无心人

考虑$k$位十进制数字$n$表示为$a_{k-1}a_{k-2}...a_1a_0$
定义变换
    $f(n) = [n * (1 / a_{k-1} + 1 / a_{k-2} + ... + 1/a_1 + 1/a_0)]$，其中$a_i != 0$，等于0的数字自动忽略
对$n$进行连续变换：
   $n_0 = n, n_1 = f(n_0), ..., n_k = f(n_{k-1}) ...$
请问，是否存在圈或者黑洞？

无心人

所有1位数字为平凡黑洞
其他是22 333 4444 55555 666666 7777777 88888888 999999999
按照定义10, 20...,  90也算