魔方还原概率

袁哥哥

看到有问魔方的，转个大学时候研究魔方时候的问题。假设魔方骨架就是魔方每个面最中间一个总共6个没掉，别的都掉了。后来看到有人提出过这个问题也有正确解答，不知道大家做过没有。 刚好我的原创的魔方不用记忆的还原算法，采用的还原基本操作就可以解决概率问题。 这儿的魔方肯定是指常见的三阶魔方。

http://hi.baidu.com/yuange1975/item/98398ab22e1976951846977d
魔方研究
数学题1：一个魔方被摔散了，没有完全按照颜色来重新安装，而是随机的重新安装出来了，问还能玩出来的概率？

袁哥哥

魔方与 “上帝之数”
http://bbs.emath.ac.cn/thread-1746-1-1.html

注释

魔方是鲁比克自己为这一立方体所取的名字， 鲁比克方块则是美国玩具公司 Ideal Toys 所取的名字。 在西方国家， 鲁比克方块这一名称更为流行， 在中国， 则是魔方这一名称更为流行。 另外要提醒读者的是， 魔方有很多种类， 本文介绍的 3×3×3 魔方只是其中最常见的一种。
具体的计算是这样的： 在组成魔方的小立方体中， 有 8 个是顶点， 它们之间有 8! 种置换； 这些顶点每个有 3 种颜色， 在朝向上有 37 种组合 (由于结构所限， 魔方的顶点只有 7 个能有独立朝向)。 类似的， 魔方有 12 个小立方体是边， 它们之间有 12!/2 种置换 (之所以除以 2， 是因为魔方的顶点一旦确定， 边的置换就只有一半是可能的)； 这些边每个有两种颜色， 在朝向上有 211 种组合 (由于结构所限， 魔方的边只有 11 个能有独立朝向)。 因此， 魔方的颜色组合总数为 8!×3^7×12!×2^11/2 = 43252003274489856000， 即大约 4325 亿亿。 另外值得一提的是， 倘若我们允许将魔方拆掉重组， 则前面提到的结构限定将不复存在， 它的颜色组合数将多达 51900 亿亿种。


这个概率就是 (8!×3^7×12!×2^11/2 )/(8!*3^8*12!*2^12)=1/12

12=3*2*2  一个顶点方向（3）和一个边方向（2）和一个顶点或者边的对换（2），顶点的对换和边的对换很简单，因为每次转动都是偶数个对换的乘积，所以最终的分解化简也必须是偶数个对换，所以不能只对换边或者只对换顶点。

对换一对边和一对顶点，只转动两个顶点，只转动两个边等等基本等，在我的原创办法里，这些都是我的基本操作的简单组合。

所以我的操作就一个基本操作，然后按顺序还原，最后剩下一个坐标三棱，也用这基本操作还原位置和方向，基本不用记忆。

袁哥哥

这些顶点每个有 3 种颜色， 在朝向上有 3^7 种组合 (由于结构所限， 魔方的顶点只有 7 个能有独立朝向)。 类似的， 魔方有 12 个小立方体是边， 它们之间有 12!/2 种置换 (之所以除以 2， 是因为魔方的顶点一旦确定， 边的置换就只有一半是可能的)； 这些边每个有两种颜色， 在朝向上有 2^11 种组合 (由于结构所限， 魔方的边只有 11 个能有独立朝向)。


前面的37、211应该分别是3^7和2^11，可能是原文的排版错误，修改没修改完全。