彩色宝石项链

mathe

一个长度为$C_n^2={n(n-1)}/2$的宝石项链，其宝石总共有$n$种不同的色彩。而且任意相邻两颗宝石颜色不同。此外，所有相邻的两颗宝石（总共$C_n^2$个)颜色组合都不相同（颜色相同但是顺序不同的也看成相同），也就是是$C_n^2$个相邻宝石的颜色组合正好取遍了$n$种颜色中选择两种颜色的所有组合。像这样的项链我们称之为二阶$n$色宝石项链。
同样，长度为$C_n^3={n(n-1)(n-2)}/6$，含有$n$中不同颜色宝石的项链，任意相邻三颗宝石颜色不同，此外，所有相邻三颗宝石(总共$C_n^3$个)的颜色组合都不相同，也就是取遍了$n$个颜色取三个颜色的所有组合，像这样的项链我们称之为三阶$n$色宝石项链。
对于两个$k$阶$n$色宝石项链，如果我们能够通过旋转或者翻转项链使得它们对应位置宝石颜色相同，我们就说这两个项链是相同的。
比如$2$阶$3$色宝石项链$(a,b,c)$和$(c,b,a)$就是相同的（旋转加翻转后相同)
同样，如果两个$k$阶$n$色宝石项链，我们能够通过颜色置换以后使得两个项链相同，我们就说它们是本质相同的。
比如$3$阶$4$色宝石项链$(a,b,c,d)$和$(c,b,d,a)$是不相同的，但是我们交换颜色b和c以后，它们两再旋转一下位置后就完全相同了，所以这两个宝石项链是本质相同的。
请问:
i)$2$阶$n$色不同的宝石项链有多少个，本质不同的又有多少个
ii)$3$阶$n$色不同的宝石项链有多少个，本质不同的又有多少个。
第一个得出$3$阶$8$色本质不同的宝石项链数目的可以获得500金币

无心人

这不是有限置换群的构造吧？？？？？？

mathe

呵呵，这个我也不知道，3阶8色的项链反正我是没有计算过，但是很早以前计算过3阶7色的，当时没有使用这么复杂的概念

无心人

你看看有限置换群的内容
可能能利用

mathe

是可以用Polya's Enumeration Theorem,不过即使如此，应该还是有难度的。
这个算一个提示吧

无心人

$c_8^3 = 56$
$56 = 2^3 * 7$

无心人

上限应该是$56$阶有限群的互不同构的群的数量

shshsh_0510

排出同构的计数可用polya定理，但首先要知道总数。
2阶的总数应该相当于完全图euler回路的总数。
对于euler回路计数是已知的p#完全问题，但感觉Kn的euler回路应该有公式，可查了一下没找着