不等式 π(x+y)≤π(x)+π(y) 是否成立？

shuzimi · 发表于 2012-12-12 08:44:35

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π(n) 表示不大于自然数 n 的素数的个数，它与自然数 n 的比值随着 n 的增大而趋于 0.
问题是：对于大于 4 的正数 x、y，不等式 π(x+y)≤π(x)+π(y) 是否成立？

shuzimi · 发表于 2012-12-13 16:46:46

因为π(n)/n  --> 0，所以 π(x+y) /(x+y)≤ π(x) /x 且 π(x+y) /(x+y)≤ π(y) /y，即
1. x *  π(x+y) /(x+y)≤ π(x)
2. y*  π(x+y) /(x+y)≤ π(y)
以上两式相加，则可得  π(x+y)≤π(x)+π(y) 。

gxqcn · 发表于 2012-12-14 08:47:06

“因为π(n)/n --> 0”，就能说明“π(n)/n 单调递减”？

liangbch · 发表于 2012-12-15 11:20:34

我仅仅能证明，当x=30k（k为大于0的整数），2<=y<30时，不等式成立

shuzimi · 发表于 2012-12-15 13:47:35

那么能否说存在大整数 N_0，使得对于所有 N > N_0 及 x (x< N/10000), 关系 π(N+x)/(N+x) )≤ π(x) /x 成立？

郭先抢 · 发表于 2012-12-15 18:34:04

凡是和素数有关系的问题都是很难的问题!

郭先抢 · 发表于 2012-12-15 18:35:14

根据素数定理是否能得到答案呢??????????

shuzimi · 发表于 2012-12-17 00:41:06

哪里可以找到这个问题的出处？

kastin · 发表于 2013-12-10 23:20:06

不一定成立。
若楼主命题成立，即证明x到x+y之间的素数个数必须少于0~y内素数的个数。这个跟素数的分布有关，猜想没有必然关系的。

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