求通项公式

wayne

已知 a₁=1, a₂=3, a₃=2, a₄=1, a₅=1; a_n+5=a_n+6 , 求a_n, S_n(即前n项和) 需要的是简洁的表达。

hujunhua

答案一：a_5n+r=a_r+6n,  S_5n+r=S_r+6rn+15n(n-1)+nS₅(n≥1，r=1,2,3,4,5)

答案二：化成a_n+6=a_n+5+a_n+1-a_n, 用特征方程法可求得一个单一表达式。

答案一的表达式多，但每个是很简洁的。答案二的表达式单一，但将是一个包含5次单位根的复杂式子。哪个更简洁呢？

wayne

2# hujunhua
恩，这两个答案都已经很简洁了。
我印象中还可以用统一的显示表达的， 即a_n=f(n)，
这个f(n)是一个简洁的高斯取整函数，譬如 [g(n)/12],g(n)是关于n的二次多项式。

这个题目的数据是我随便给的，可能有不妥的地方。

chyanog

这个用rsolve的话，M7能解，M8不能，M9又能解了。和我曾提到过的

1. RSolve[{a[n] == a[n - 5] + 1, Sequence @@ Table[a[i] == 1, {i, 5}]},
2. a[n], n]

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情况一样，看来某个特例可能代表那一类题，计算大概30s， Maple则算的很快 那个可以用取余 或取整可以表示为

1. 1/5 (4 + n + 4 Mod[4 + n, 5])
2. n - 4 Floor[1/5 (n - 1)]

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这个应该也可以用取整吧，我是不会了 只得到了一个用三角函数表示的并不简洁的结果

2. -2 + (6 n)/5 + 2/5 Sqrt[28 + 53/Sqrt[5]] Sin[(2 n π)/5 - ArcTan[15/Sqrt[85 + 38 Sqrt[5]]]] + 2/5 Sqrt[28 - 53/Sqrt[5]]Sin[(4 n π)/5 - ArcTan[3 Sqrt[5 (85 + 38 Sqrt[5])]]]

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wayne

2# hujunhua
答案一已经足够简洁了，
我原意是打算合并各种情况为一个取整的表达式，
就是让消去结果的n，r，仅用N=5n+r一个参数来表达的。
没成功，
看来这个还得看具体情况，不具备一般性。

chyanog

1. fn[n_] := 6 Floor[(n - 1)/5] + Mod[2 n^4 + 3 n^3 + 3 n^2 + 2 n + 1, 5]
2. Array[fn, 30]
3. DiscretePlot[fn[n], {n, 30}]

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kastin

这种下标带有周期性质的递归关系，一般都会涉及到复数，因为复数就是实轴上的点旋转某个幅角得到的。其一般解就是特征方程的求解，然后利用通解公式加特解。

Mathematica计算出通解公式如下，很长



不过由于含有复数根，虽然最后的值是实数，但是计算极为不便，根据无理数的近似性质，可以采用Floor或者Ceilling函数进行化简。比如x+2y+3z=n的非负整数解的个数也可以写成一个线性递归关系a(n+3)=a(n+2)+2a(n+1)+3a(n)，特征根有复数，定解后化简后可以写成Floor[(n+3)^2/12]，对于更高阶的线性递归关系同样类似可以处理得到只含有高斯取整函数的简洁表达，记得国内有篇论文做到了好像是5阶的情况。回去再把那篇文章找出来。

kastin

结果a[n]-->$c_2e^{\frac{2n\pii}{5}}+c_3e^{\frac{4n\pii}{5}}+c_4e^{\frac{n\pii}{5}}-c_5e^{\frac{3n\pii}{5}}+c_1+\frac{6n}{5}-\frac{12}{5}$