猜想：sin(x)+ sin(2x)/2+ sin(3x)/3+...+sin(nx)/n>=0

northwolves

20年前想到的问题,至今一直未解决.

假设实数$x in [0,pi]$,易知
$sin x >=0$
$sin x +1/2 sin 2x =sin x (1+cos x )>=0$
问题:

$\sum_{k=1}^n {sin kx }/k=sin x +1/2 sin 2x +1/3 sin 3x +...+1/n sin nx >=0$ 是否成立?如何证明?

lyg_wangyushi

记函数$F(x)=sin x+1/2 sin2x+1/3 sin3x+.....+1/n sinnx$
导数$F'(x)=cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx$,这个式子是有求和公式的，推倒如下，
$sinfracx2*F'(x)=sinfracx2*cos x +sinfracx2*cos2x+...+sinfracx2*cosnx$，所有的式子用和差化积公式
$sinfracx2*F'(x)=1/2(-sin\frac x2+sin \frac3 2x)+1/2(-sin \frac3 2x+cos\frac5 2 x)+....+1/2(-sin\frac{2n-1}2x+sin\frac{2n+1}2x)=(-sinfrac x2+sinfrac{2n+1}2x)/2=cosfrac{n+1}2xsinfracn2x$
令$F'(x)=0$求得原函数的极值，看其极小值是否大于零即可。

northwolves

多谢，但
F'(x)=0

---->$x={2k}/npi,kin{0,1,2,cdots,lfloorfracn2rfloor}$
       $x={2k+1}/(n+1)pi,kin{0,1,2,cdots,lfloorfracn2rfloor}$
依然无从下手

lyg_wangyushi

啊，欠考虑了，我再想想~~~

mathe

由于极大值和极小值通常交叉出现，
所以$x=(2k)/npi$是极小值
$x=(2k+1)/(n+1)pi$是极大值。
所以我们只需要验证对于所有的$x=(2k)/npi$表达式成立就可以了。
将$x=(2k)/npi$代入，得到
$sum{1/t *sin (t*(2k)/npi)}>=0$
或者说数列${1,1/2,1/3,...,1/n}$的离散正弦变换的所有项都是非负

mathe

先来看看
$F(n,x)=sum_{k=1}^n {cos(kx)}/k>=0$
是否成立
计算可知 $F'(n,x)$ 的极值点同样分别为:
$x={2k}/n*pi$和$x={2k}/{n+1}*pi$
其中${2k}/n*pi$为极大值点，${2k}/{n+1}*pi$为极小值点
呵呵，这个就是说，如果$F(n+1,x)$的结论成立，那么对于$F(n,x)$的结论自然成立
（如果这时都是正弦函数，那么正好倒过来，如果$F(n,x)$成立，那么$F(n+1,x)$成立，就是非常漂亮的证明了）
所以我们现在只要查看极限情况的结果。
现在让k固定，n趋向无穷，这个结果呵呵，好像是定积分吧，不过可惜的很，好像这个定积分的计算不是很容易。

mathe

现在返回正弦情况吧（反正余弦情况结论应该是不成立的）。
极值点是$x={2k}/npi$（极小值驻点）和$x={2k+1}/{n+1}pi$（极大值驻点）
可惜呀，这时由于分子不同，我们没有$F(n,x)$和$F(n+1,x)$之间的自然关系了。
现在只要证明对于$x={2k}/n*pi,F(n,x)>=0$ (其中$0<=2k<=n$)

lyg_wangyushi

对阿，这个定积分好像在初等范围内无法求解吧。mathe果然强啊

mathe

还有需要说明的是计算机枚举说明在$n<=30$时，
${1,1/2,...,1/n}$的离散正弦变换所有项都非负，这是一个非常强的结论，如果成立，本题显然成立

mathe

现在我们看看对于函数
$F(x)=sin(x)+1/2 sin(2x)+1/3 sin(3x)+...+1/n sin(nx)$
我们能否证明对于$x=k/n*pi$ ($0<=k<=n$), $F(x)>=0$
我们先看看函数
$g(t,x)=sin(x)+sin(2x)+...+sin(tx)$,是否对于整数$t<n,x=k/n*pi$有$g(t,x)>=0$
$g(t,x)*2sin(x/2)=cos(x/2)-cos((t+1/2)x)$
根据余弦函数的几何意义，非常容易看出，对于有理数角$u=k/{2n}*pi$,而且$0<u<pi/2$
通常情况$cos(u)>=cos((2t+1)u)$,唯一的例外是$(2t+1)*k$是$4n$的倍数
所以，在k的2的因子不超过2n的2的因子的时候，我们已经得到
$g(t,x)>=0$
可惜得很，这个只是部分证明。
不过这时，我们可以证明，在k的2的因子不超过2n的2的因子的时候，
$F(x)=(1-1/2)g(1,x)+(1/2-1/3)g(2,x)+...+(1/(n-1)-1/n)g(n,x)>=0$