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[原创] 猜想:sin(x)+ sin(2x)/2+ sin(3x)/3+...+sin(nx)/n>=0

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发表于 2008-1-13 15:14:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
精华
20年前想到的问题,至今一直未解决.

假设实数$x in [0,pi]$,易知
$sin x >=0$
$sin x +1/2 sin 2x =sin x (1+cos x )>=0$
问题:

$\sum_{k=1}^n {sin kx }/k=sin x +1/2 sin 2x +1/3 sin 3x +...+1/n sin nx >=0$ 是否成立?如何证明?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-1-13 19:45:25 | 显示全部楼层
记函数$F(x)=sin x+1/2 sin2x+1/3 sin3x+.....+1/n sinnx$
导数$F'(x)=cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx$,这个式子是有求和公式的,推倒如下,
$sinfracx2*F'(x)=sinfracx2*cos x +sinfracx2*cos2x+...+sinfracx2*cosnx$,所有的式子用和差化积公式
$sinfracx2*F'(x)=1/2(-sin\frac x2+sin \frac3 2x)+1/2(-sin \frac3 2x+cos\frac5 2 x)+....+1/2(-sin\frac{2n-1}2x+sin\frac{2n+1}2x)=(-sinfrac x2+sinfrac{2n+1}2x)/2=cosfrac{n+1}2xsinfracn2x$
令$F'(x)=0$求得原函数的极值,看其极小值是否大于零即可。
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 楼主| 发表于 2008-1-13 20:22:03 | 显示全部楼层
多谢,但
F'(x)=0

---->$x={2k}/npi,kin{0,1,2,cdots,lfloorfracn2rfloor}$
       $x={2k+1}/(n+1)pi,kin{0,1,2,cdots,lfloorfracn2rfloor}$
依然无从下手
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发表于 2008-1-14 08:08:57 | 显示全部楼层
啊,欠考虑了,我再想想~~~
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发表于 2008-1-14 09:09:12 | 显示全部楼层
由于极大值和极小值通常交叉出现,
所以$x=(2k)/npi$是极小值
$x=(2k+1)/(n+1)pi$是极大值。
所以我们只需要验证对于所有的$x=(2k)/npi$表达式成立就可以了。
将$x=(2k)/npi$代入,得到
$sum{1/t *sin (t*(2k)/npi)}>=0$
或者说数列${1,1/2,1/3,...,1/n}$的离散正弦变换的所有项都是非负
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发表于 2008-1-14 09:37:30 | 显示全部楼层
先来看看
$F(n,x)=sum_{k=1}^n {cos(kx)}/k>=0$
是否成立
计算可知 $F'(n,x)$ 的极值点同样分别为:
$x={2k}/n*pi$和$x={2k}/{n+1}*pi$
其中${2k}/n*pi$为极大值点,${2k}/{n+1}*pi$为极小值点
呵呵,这个就是说,如果$F(n+1,x)$的结论成立,那么对于$F(n,x)$的结论自然成立
(如果这时都是正弦函数,那么正好倒过来,如果$F(n,x)$成立,那么$F(n+1,x)$成立,就是非常漂亮的证明了)
所以我们现在只要查看极限情况的结果。
现在让k固定,n趋向无穷,这个结果呵呵,好像是定积分吧,不过可惜的很,好像这个定积分的计算不是很容易。
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发表于 2008-1-14 09:43:08 | 显示全部楼层
现在返回正弦情况吧(反正余弦情况结论应该是不成立的)。
极值点是$x={2k}/npi$(极小值驻点)和$x={2k+1}/{n+1}pi$(极大值驻点)
可惜呀,这时由于分子不同,我们没有$F(n,x)$和$F(n+1,x)$之间的自然关系了。
现在只要证明对于$x={2k}/n*pi,F(n,x)>=0$ (其中$0<=2k<=n$)
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发表于 2008-1-14 09:44:53 | 显示全部楼层
对阿,这个定积分好像在初等范围内无法求解吧。mathe果然强啊
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发表于 2008-1-14 09:53:52 | 显示全部楼层
还有需要说明的是计算机枚举说明在$n<=30$时,
${1,1/2,...,1/n}$的离散正弦变换所有项都非负,这是一个非常强的结论,如果成立,本题显然成立
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发表于 2008-1-14 11:15:36 | 显示全部楼层
现在我们看看对于函数
$F(x)=sin(x)+1/2 sin(2x)+1/3 sin(3x)+...+1/n sin(nx)$
我们能否证明对于$x=k/n*pi$ ($0<=k<=n$), $F(x)>=0$
我们先看看函数
$g(t,x)=sin(x)+sin(2x)+...+sin(tx)$,是否对于整数$t<n,x=k/n*pi$有$g(t,x)>=0$
$g(t,x)*2sin(x/2)=cos(x/2)-cos((t+1/2)x)$
根据余弦函数的几何意义,非常容易看出,对于有理数角$u=k/{2n}*pi$,而且$0<u<pi/2$
通常情况$cos(u)>=cos((2t+1)u)$,唯一的例外是$(2t+1)*k$是$4n$的倍数
所以,在k的2的因子不超过2n的2的因子的时候,我们已经得到
$g(t,x)>=0$
可惜得很,这个只是部分证明。
不过这时,我们可以证明,在k的2的因子不超过2n的2的因子的时候,
$F(x)=(1-1/2)g(1,x)+(1/2-1/3)g(2,x)+...+(1/(n-1)-1/n)g(n,x)>=0$
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