一道平面几何

葛雨润

已知三角形ABC中，∠BCA=90°，D是过顶点C的高的垂足，设X是线段CD内部一点，K是线段AX上一点，使得BK=BC，L是BX上一点，使得AL=AC，设M是AL与BK的交点，求证MK=ML

wayne

给楼主 配一个图

hujunhua

证明：作出以三角形的直角边为半径的圆A和圆B，两圆相交于直角顶点C及C关于斜边AB的镜像点C'. 于是题目可以重新描述如下：
已知：圆A和圆B正交于点C和C‘，X是两圆公共弦CC'上的点，线段AX交圆B于K，线段BX交圆A于L, ..........
下面来完成证明。
作 出直线AX、BX各与圆B、圆A的另一交点I、J;  由相交弦定理得KX·XI=CX·XC'=LX·XJ, 故IJKL四点共圆。
圆A与圆B正交→{J,L}为基于圆B的反演共轭点对→圆B与圆IJKL正交→BK为圆IJKL的切线
同理可得圆A与圆IJKL正交，AL亦为圆IJKL的切线。故MK=ML.

gxqcn

巧用圆的性质，漂亮！