四等分点

云梦

对于任意平面图形是否也存在点J，过J做两垂直直线将该图形四等分呢?

hujunhua

对平面上的任意一个面积非零的有限域，7#，9#，10#的陈述仍然成立，因为连续性和对换性仍然成立。 由于S1(t)+S2(t)=s/2, 所以参数曲线（S1(t),S2(t)）如下图所示。

nnd

恩，似乎看懂了。 图2，坐标架旋转角度 t 并适当平移，以保持对角面积相等，即S1(t)=S3(t), S2(t)=S4(t); 当 t 递增时，即坐标架连续旋转时，为保持面积对角相等，原点O必须同时适当平移，所以O会画出一条轨迹O(t)。 改为： 图2，坐标架旋转角度 t ，平移X轴，使得S1+S2=S3+S4，然后平移Y轴，使得S1=S3是否更容易理解？

hujunhua

回楼上，理解正确。7#的2就要这么理解。有了7#的2，后面图2就直接……了。 您吃枣比较过细啊，呵呵。 如果真的看懂了，您可以想一想三维的情况是否成立，如何证明。 喝酒的事就免了，还是改打麻将吧，哈哈。

nnd

对于任意平面图形，当两条直线L1与L2的夹角为α时，若存在四等分图形的J点，请找出α应满足的条件？ 这个问题还没有解决。 显然，当平面图形为圆时，α只能为90度。

hujunhua

上述问题不会有良好的答案，因为这个问题不属于度量几何，而是属于仿射几何，仿射几何不回答关于角度的问题。

nnd

16# hujunhua 虽然如此。但是还是很有意思的。特别是，正方形最小的α也只能为90度。 长方形最小的α就是对角线的夹角。

hujunhua

你没有明白实质所在。问题也许很有意思，但是使用角度来表述是不恰当的。 就以你所说的正方形和长方形为例吧。 在仿射几何中，并没有正方形和长方形，两者统属于平行四边形。两条相交直线若将平行四边形分成面积比为1:1:1:1的四部分，其交点必为平行四边形的中心（对角线交点），除此之处，还必须满足什么条件呢？如图，答案是：两条直线各与一组对边相交，并且分比相等，即AE/EB=BF/FC.

nnd

换句话说，如果考虑角度，就不适合归结到仿射几何的问题。你的逻辑有问题。

hujunhua

问题的目的是要研究两条相交直线平分图形面积的条件。这个条件不适用角度来表述，所以描述条件时不要引入角度，否则，除了少数非常特殊的图形，你一般不会得到一个简明的结论。