试找出五个正整数a,b,c,d,e，使(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=ex的四个根都是正整数

lsrong314

可以验证，(x-105)(x-210)(x-315)=2584x的三个根为x=125,162,343 试找出五个正整数a,b,c,d,e，使(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=ex的四个根都是正整数。

mathe

也就是找出两组四个正整数，和，平方和，积都相等 ${(x_1+x_2+x_3+x_4=y_1+y_2+y_3+y_4),(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2),(x_1x_2x_3x_4=y_1y_2y_3y_4):}$

lsrong314

2# mathe 确实是这样，所以只要求出有理数解就可以（符号相同），前面的三次方程的例子就是这样找到的。 但是到了四次以后就变得很复杂，即使其中的某些整数可以重复，也很难找到这样的例子。

gxqcn

也就是找出两组四个正整数，和，平方和，积都相等 ${(x_1+x_2+x_3+x_4=y_1+y_2+y_3+y_4),(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2),(x_1x_2x_3x_4=y_1y_2y_3y_4):}$ mathe 发表于 2013-3-16 20:39

运行俺13年前开发的程序，迅速得到了如下几组结果：

1. {4,9,12,20}<0~2>{5,6,16,18}
2. {2,8,11,24}<0~2>{3,4,16,22}
3. {2,11,24,48}<0~2>{3,6,32,44}

复制代码

gxqcn

这是扩展的“等幂和问题”，我曾研究了多年。 再给一组积相等，且和、平方和、立方和对应相等的结果：

1. {4,13,17,40,50}<0~3>{5,8,25,34,52}

复制代码

lsrong314

4# gxqcn 非常好！能不能进一步将次数4增加到7？（这是原始的问题） 即找到8个正整数a,b,c,d,e,f,g,h,使 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)=hx 有7个正整数解。

gxqcn

这个，很难、很难。。。

lsrong314

国外有个牛人给出了下面这个解(8次!): (x−2321)(x−2263)(x−2187)(x−2163)(x−2037)(x−2001)(x−1919)(x−1909)=17313885388800x x=1899,1953,1957,2079,2117,2231,2241,2323

lsrong314

7次的： (x−666)(x−663)(x−616)(x−595)(x−558)(x−497)(x−480)−1327233600x =(x−672)(x−651)(x−630)(x−578)(x−568)(x−495)(x−481). http://math.stackexchange.com/questions/331853/x-ax-bx-cx-d-ex