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[原创] 试找出五个正整数a,b,c,d,e,使(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=ex的四个根都是正整数

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发表于 2013-3-16 12:06:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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可以验证,(x-105)(x-210)(x-315)=2584x的三个根为x=125,162,343
试找出五个正整数a,b,c,d,e,使(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=ex的四个根都是正整数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-3-16 20:39:57 | 显示全部楼层
也就是找出两组四个正整数,和,平方和,积都相等
${(x_1+x_2+x_3+x_4=y_1+y_2+y_3+y_4),(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2),(x_1x_2x_3x_4=y_1y_2y_3y_4):}$
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 楼主| 发表于 2013-3-16 20:43:25 | 显示全部楼层
2# mathe

确实是这样,所以只要求出有理数解就可以(符号相同),前面的三次方程的例子就是这样找到的。
但是到了四次以后就变得很复杂,即使其中的某些整数可以重复,也很难找到这样的例子。
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发表于 2013-3-17 12:43:45 | 显示全部楼层
也就是找出两组四个正整数,和,平方和,积都相等
${(x_1+x_2+x_3+x_4=y_1+y_2+y_3+y_4),(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2),(x_1x_2x_3x_4=y_1y_2y_3y_4):}$
mathe 发表于 2013-3-16 20:39


运行俺13年前开发的程序,迅速得到了如下几组结果:
  1. {4,9,12,20}<0~2>{5,6,16,18}
  2. {2,8,11,24}<0~2>{3,4,16,22}
  3. {2,11,24,48}<0~2>{3,6,32,44}
复制代码

点评

你是如何得到的?假如是8重循环.4*11*24*48*5*6*32*44=21 4106 1120.这么多次循环后,还是能找到你的所有的解答的!但是你用的是这个笨办法吗?我猜不是.给出思路才是最重要的  发表于 2013-11-19 09:40
郭先强强!  发表于 2013-11-19 09:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2013-3-17 13:11:58 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
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发表于 2013-3-17 13:31:35 | 显示全部楼层
这是扩展的“等幂和问题”,我曾研究了多年。

再给一组积相等,且和、平方和、立方和对应相等的结果:
  1. {4,13,17,40,50}<0~3>{5,8,25,34,52}
复制代码
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 楼主| 发表于 2013-3-17 14:01:02 | 显示全部楼层
4# gxqcn

非常好!能不能进一步将次数4增加到7?(这是原始的问题)
即找到8个正整数a,b,c,d,e,f,g,h,使
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)=hx
有7个正整数解。
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发表于 2013-3-17 17:10:20 | 显示全部楼层
这个,很难、很难。。。
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 楼主| 发表于 2013-3-18 00:26:15 | 显示全部楼层
国外有个牛人给出了下面这个解(8次!):
(x&#8722;2321)(x&#8722;2263)(x&#8722;2187)(x&#8722;2163)(x&#8722;2037)(x&#8722;2001)(x&#8722;1919)(x&#8722;1909)=17313885388800x
x=1899,1953,1957,2079,2117,2231,2241,2323

点评

居然比郭先强强!  发表于 2013-11-19 09:29
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 楼主| 发表于 2013-3-18 00:45:06 | 显示全部楼层
7次的:
(x&#8722;666)(x&#8722;663)(x&#8722;616)(x&#8722;595)(x&#8722;558)(x&#8722;497)(x&#8722;480)&#8722;1327233600x
=(x&#8722;672)(x&#8722;651)(x&#8722;630)(x&#8722;578)(x&#8722;568)(x&#8722;495)(x&#8722;481).
http://math.stackexchange.com/questions/331853/x-ax-bx-cx-d-ex
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