山顶上的决斗

mathe

这题简单些'wayne必胜'可以动态规划需要k步的集合

mathe

$a_{0,n}=0,a_{n,n}=n,a_{n,k+1}={1+a_{n-1,k}}/{1+a_{n+1,k}}a_{n+1,k}$ 找出最小的n使得$a_{1 ,n}<=1/3$即可

KeyTo9_Fans

看来这题难不倒mathe呀～ 为什么是这样的式子呀？ mathe没有解释，看得我很晕呀

mathe

现在没电脑不方便'注意k和n的差是偶数

mathe

其实就是要计算出所有k步可以到达的状态集合。体力比表示wayne的体力和Fans体力之比。 显然其中一步达到的只有n=1,体力比p>1.得到集合S1={(n,p)|n=1,p>1} 如果两步达到，wayne必然有办法使得一步后必然到达S1,对于集合S2={(n,p)|n=2,p>2}可以达到。 同样，对于S3,只能初始状态为n=3或n=1.其中n=1的，wayne同样要想法达到S2, 假设wayne使用策略体力x=p,而Fans使用一个略大于p但是非常接近p的策略，于是到达(2,p/(1-p)) in S2

mathe

首先我们知道离山顶n步时，如果wayne体力是Fans的n倍以上，那么必胜。假设wayne体力是Fans的a(n)倍以上时，可以必胜，其中a(n)是上确界。那么当体力比a充分接近a(n)时，wayne必然可以有策略使用体力x,使得当Fans使用体力小于x时，得出a(n-1)a(n)*(a(n)-a(n-1)) 容易看出a(n)单调增，得出a(n+1)-a(n)越来越大，很快就可以大于1，但是这个是不可能的。由此得出只能a(n)=a(n+1),然后可以得出它们都是0，也就是wayne必胜。 于是在必胜的条件下用类似方法可以推导出12#的递推式

mathe

发现前面推理中有错误，也就是wayne不是必胜的。根据16#的递推式，给定$a_0=0$,$a_1$为任意正数，然后 $a_{n+1}={a_n}/{1-a_n+a_{n-1}}$,如果递推到某一项出现负数，那么wayne是可以100%取胜。但是如果可以一直保持正数，那么Fans可以一直将wayne阻挡在山顶以外，唯一的例外是存在一个临界点值，这时，wayne可以以100%的概率登顶，但是平均需要的步长是无穷步。不过这个临界值不大好计算。而对于$a_1=1/3$估计Fans可以获胜

mathe

试着计算了一下，数值计算结果表示$a_1=1/3$正好在临界点，也就是是wanye可以赢，但是绝对会筋疲力尽。Fans可以让wanye赢得任意慢

KeyTo9_Fans

嗯，数值计算是个好方法，虽然不太严谨，但至少给出了一个猜想。 那wayne可以赢的概率是多少呢？ 给定$N$，如果Fans的目标只是阻挡wayne$N$步，那Fans能成功阻挡$N$步的概率是多少呢？

南海一十三

收藏学习，再次感受到自身的浅薄，诚愿楼主教我。 高中之后就没学过数学了，但是真心希望能学习通过数学方法解决问题。