连续，单射=>单调？

dianyancao

函数f(x)为定义在[a,b]区间内的连续函数，且对应法则f为单射
是否可以得到结论：f(x)在[a,b]上是单调的？

thewangj

只需证明f(x)在开区间(a,b)上没有极值点。反证法：设f(x)在x_0\in(a,b)取到极大值，则存在x_0的一个邻域\delta，其中总有f(x)<f(x_0)。取邻域中两点x_1<x_0<x_2，根据f(x)单射的条件，f(x_1)\ne f(x_2)。令M=max{f(x_1),f(x_2)}。例如设M=f(x_1)，则有f(x_2)<M<f(x_0)。于是存在x'\in(x_0,x_2)，满足f(x')=M，与f(x)单射矛盾。同理可证f(x)在(a,b)没有极小值点。闭区间上连续函数必能取到最大值、最小值，所以最大、最小值只能在区间端点取到。如果f(a)为最小值、f(b)为最大值，就可证明f(x)是单调递增的；反之是单调递减的。