三次pell方程的通解

wayne

咱们好像从来没有讨论过 三次pell方程. 也就是 $x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz = 1$的正整数解的求解,比如$d=2025$

northwolves

先用小的d求几个解看看规律

1. f[d_]:={d,Values@FindInstance[x^3+d y^3+d^2z^3-3d x y z==1,{x,y,z},PositiveIntegers]};Do[Print[f[d]],{d,20}]

复制代码

{1,{}}
{2,{{1,1,1}}}
{3,{{4,3,2}}}
{4,{{5,3,2}}}
{5,{{41,24,14}}}
{6,Values[FindInstance[x^3+6 y^3-18 x y z+36 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}
{7,{{4,2,1}}}
{8,{}}
{9,{{4,2,1}}}
{10,Values[FindInstance[x^3+10 y^3-30 x y z+100 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}
{11,{{89,40,18}}}
{12,Values[FindInstance[x^3+12 y^3-36 x y z+144 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}
{13,{{94,40,17}}}
{14,{{29,12,5}}}
{15,Values[FindInstance[x^3+15 y^3-45 x y z+225 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}
{16,Values[FindInstance[x^3+16 y^3-48 x y z+256 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}
{17,Values[FindInstance[x^3+17 y^3-51 x y z+289 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}
{18,{{55,21,8}}}
{19,{{64,24,9}}}
{20,Values[FindInstance[x^3+20 y^3-60 x y z+400 z^3==1,{x,y,z},Subscript[\[DoubleStruckCapitalZ], >\[ThinSpace]0]]]}

northwolves

若不限制正整数，

1. f[d_]:={d,Values@FindInstance[x^3+d y^3+d^2z^3-3d x y z==1&&y!=0,{x,y,z},Integers]};Do[Print[f[d]],{d,20}]

复制代码

{1,{{0,1,0}}}
{2,{{1,1,1}}}
{3,{{4,3,-4}}}
{4,{{1,1,-1}}}
{5,{{1,-4,2}}}
{6,{{1,-6,3}}}
{7,{{4,2,1}}}
{8,{}}
{9,{{-2,1,0}}}
{10,{{1,6,-3}}}
{11,{{1,4,-2}}}
{12,Values[FindInstance[x^3+12 y^3-36 x y z+144 z^3==1&&y!=0,{x,y,z},\[DoubleStruckCapitalZ]]]}
{13,{{-4,-3,2}}}
{14,{{1,2,-1}}}
{15,{{1,-30,12}}}
{16,{{1,50,-20}}}
{17,{{18,-7,0}}}
{18,{{1,-3,1}}}
{19,{{-8,3,0}}}
{20,{{-19,7,0}}}

wayne

根据附件的PDF的第20页得知,
如果 $d=r^2$,那么方程$x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz = 1$有根$(u,v,w)$ 当且仅当 方程 $x^3+ry^3+r^2z^3-3rxyz = 1$有根$(u,rw,v)$
而 $2025=45^2$, 所以我们只需要考虑$r=45$的情况.这个时候,就好搜索了. 根据三次方程 $x^3 - 3 r x y z + r (y^3 + r z^3) - 1$有整数根,得知, $x|r (y^3 + r z^3) - 1$, 于是我们可以穷举一下,$r (y^3 + r z^3) - 1$的因子,应该能搜到一些最小基本解.
当然,我们也可以锁定x,$r|x^3 - 1$ 进行搜索.

cubic_pells_equation_-_lund_-_tien_truong.pdf (348.23 KB, 下载次数: 7)

7 天前 上传

点击文件名下载附件

wayne

根据楼上的PDF, 我先给出10组解

1. Block[{c=45,p0},p0={1477441,415374,116780};sol=NestList[Function[{x,y,z,u,v,w,c},{x u+y w c+c z v ,x v+y u+z w c,x w+y v+z u}]@@Flatten[{p0,#,c}]&,p0,150];Table[{p[[1]],p[[3]],p[[2]]/c},{p,Select[sol,Mod[#[[2]],c]==0&]}]]

复制代码

至于怎么搜到最小解,要靠运气.
大概是这种思路.

1. Monitor[Block[{d=45,x},mod=SolveValues[t^3==1,t,Modulus->d];Do[x=n d+m;tmp=Solve[x^3+d y^3+d^2z^3-3d x y z-1==0&&y>0&&z>0,{y,z},Integers];If[Length[tmp]>0,Print[{x,tmp}]],{n,1,10^6},{m,mod}]],n]

复制代码

进一步发现,这个是一个三阶递推公式.

1. RecurrenceTable[{a[3+k]==a[k]+82316637422002825226775483149146676811524820287997 a[1+k]+5005771507996422900753395108857987502819818303481167138105281513079594972622797346768221335581457003 a[2+k],a[1]=={1668590502665474300251131702952662500939939434493722379368427171026531657540932448922740445193819001,131888853041478529652417738483816443867325688784470872365136383191960274926669820010634365654918520,10424768407113529728508676224936033083434309244692392697569909171646535509881888550312448193569578},a[2]=={8352582796756260593673375578671588193650281539488104214785063608208209333498277982453068753165460250036207548513381530590579534490472051101832715402783595949256188622669659990627981623744435326106001,660205462777360586410955602562003643318602431610205003458308629450889687275864984960248431940669511450071133415563682721464433429372351208832742275323325573567295632733374697945909700308628939217140,52184008669790161205064590499286551857041910478091922010015949566466428975177504014690983010581782434748115624366865839973142323878247581967563621298331472027636891064228394726669580646108302893556},a[3]=={41811120982183566082803866735535156292632674606987822586183497515258643089351174380100721258080133821819744694578307909643896524352545209435300411127998715740933115377941703870241961446523255833241347990275601443493554122584078713235545364454070296448492724322892372321178844326998428269847112606001,3304837694994504550434628204301986607140905418007899145878590239598482487623321340954086688970506342868524413135169266181112272906017013530447556421652782504420785851443293234801488459151298052203655844792396851682628235211559632062945047460379616795860228255300083336577256001912823181353359635860,261221223772273901920941742927792201191017942747681707626880858373774613521772408541038327655916852783570504366843851235324085428502097810591409748161587147025167617169428098790741875736972293481134281960738965336973956851063771889507171594213088747636647930545937393057684693893829717492717527934}},a,{k,1,50}]

复制代码

1. {1668590502665474300251131702952662500939939434493722379368427171026531657540932448922740445193819001,131888853041478529652417738483816443867325688784470872365136383191960274926669820010634365654918520,10424768407113529728508676224936033083434309244692392697569909171646535509881888550312448193569578}
   
2. {8352582796756260593673375578671588193650281539488104214785063608208209333498277982453068753165460250036207548513381530590579534490472051101832715402783595949256188622669659990627981623744435326106001,660205462777360586410955602562003643318602431610205003458308629450889687275864984960248431940669511450071133415563682721464433429372351208832742275323325573567295632733374697945909700308628939217140,52184008669790161205064590499286551857041910478091922010015949566466428975177504014690983010581782434748115624366865839973142323878247581967563621298331472027636891064228394726669580646108302893556}
   
3. {41811120982183566082803866735535156292632674606987822586183497515258643089351174380100721258080133821819744694578307909643896524352545209435300411127998715740933115377941703870241961446523255833241347990275601443493554122584078713235545364454070296448492724322892372321178844326998428269847112606001,3304837694994504550434628204301986607140905418007899145878590239598482487623321340954086688970506342868524413135169266181112272906017013530447556421652782504420785851443293234801488459151298052203655844792396851682628235211559632062945047460379616795860228255300083336577256001912823181353359635860,261221223772273901920941742927792201191017942747681707626880858373774613521772408541038327655916852783570504366843851235324085428502097810591409748161587147025167617169428098790741875736972293481134281960738965336973956851063771889507171594213088747636647930545937393057684693893829717492717527934}
   
4. {209296918130005908193769690066582731916668012811052856758250724124272887592059432066375782561010468487434909215278692061235735444689444439315415784970777603335697716934119872588013285330352937889634309385417948165845271492676538788932789484212358816217929768298007379419937173744447502026746036439050403154218577839779002528953117084113449182283750091403324066530299704006421085884133238926425064001,16543262372156063362713094594419093133608252504760354472881165544029282915476958013936539292658135492382892635811565752349267322530626498126945317526827900306632520217574295610912882224665216001317544449988415428021350121802683762142459488699569168310607007859841167051872673822729983430621468217950066852360247664062886928959674827572162818900970487681798889422086254370083251405548373336500514680,1307613759243206564365083636621170310569193832190233901307310314878528000290602340317462260675296305447144311142782059076307654851148286441608418084239810665785122681750654161153764611141169491260284116367323443009668623529610506786526108954829739630927053418286291450244813571729756373949648152749392777490436808066434317011738051045318558428762608963032911110171918003421127508951557424621438712}
   
5. {1047692549486643539259876487933287628173452721070639853686925391388721603017787166585085940889399124743279068819555156373874363494728263940958459331143544282691523444415542597516073518379225851626991459245986742809361303849330783125031767200958169579693513379679989931593243618821607118386269370651463451474742172170399841673778987081030170599784724081646669087501136170060767542174211111097123384812887545303359531094032309360554126261863389136963814495817975463597438858298419764986312322441225001,82811791431848137619144052000733917129926250609640116078421353848145025087324743327759654470558228053620378534183257919182890656705433186036417982588641893261006991552784412429090616100144876438897853397381255814459285226909243257730198071987554251256850886494642467643029959780553950671617266751632951287711810715505682039753490965305112499814810996606641317680997882284951518511519615081752115067600769120114097779115858276841863396173401383608289956250653140197783675670098811130481762978293600,6545615699483737598264264714523127261358279201571505662544420647445818107847453299756806397457380308032320348167726785740858524418136424730471257130964273343559205728442963211575315128956603378028986561171314041504695796715090996541719610835132245669799100958372559978122100864492555515383728695690452083536450204541796155704676164981595508292689665699025252241163040588176530159040227421599212624632149325570404699322028478733245531485974367961931138978111354977465815244219758536981283103001890}
   
6. {5244509513360372555149926900661462777769752637742920116492635056973847276547915012884378006900350607083758642746593349418976181806783737378902089183674060887493346721734217164107310689616096457767154961694337253741619495716969196504122517767996386110143007188101584494686341508271192146085497960033739459721201074157272524271559887124487412436151390252658848705858145692022951553945472375149440163722270712108620637922935071533217316268437127177688723180655734450564909088559576555665925524026320336454313246124982185518059213232747789003302679611100523346645095311405083102621397154504158819834001,414536906075687705080033385500388981685627039271784835159021174543067641301604647250714594698022266310669986262408957050159269018902846082844879843805876594813927130735992758131046948204631821291704740043096021199658698631821698679493232781948439314522646845763929641584872458523845231150386151277062884780424648555936649599130510031065455044348342844367870100466956880791630655415419609390585352546645338540141964400693774058891133924675203076458422649042732869785620061512354208562242372912885168800835767197485272852798423882554885148408466384620685413113432601804246031970064246038800396012620,32765856570769769661752418137221975651161239325296454726706683960790849970106701139954512353902360326326641252337762385737801409026975350798583160195020496374631870994455782149187603118872038078171418389956666268205523564671193362256821221941463311884668977700788453349154087905238375855373398996536623909925632752923150136310125373460014195402054416638078772831041996178772630156448524799933537847384622541615964591497612856392749007408290674516091624772186956601596307464959285344070895640120343189569378807119967415772926043311551631025337083364991207443350905731842982539309427722194305003468}
   
7. {26252816295395538141805609174671758868036269119451327892495676748679676775095079157374074035549174859342645017253619163732570179245439586837116593558261887735137184330723946437771895471541908934417227520401312493329214170018390568329932720429875076434269732879757268161206572653825778763459616159862169938814547191512699932510636073280897103862099887095817809716655819301019243355640640040717595657627758343803552421950861422389687904449064317840562917894617696545150881108407177056440189821190551520443034847550895291246476164856734772460287716632634978087795759955715566605859789899728351240037788847906515008880737278954719058199535902792726341259819110000929011358380393459753743709086900636001,2075077033446666765941124715815331779629348966070413905736594497305600826714364977352194307579815360972216586576794953969318740528692031512214932996596289675054538511280138104763975885238421983965329897248276065199512749558918478437719136203648316455572053290651215650473038331946611086335226276071731490777802072070788316890265633804582711024978067263030867317399043897530569025739505954987805479319156405633063670589994315975349369077010549113834243957943116074222984107549294823732301372314545898896787179798087527944138198442517559429239517910101430633344001634565733334844190936088523383581605452617942144681754928234684286924091326132361702910733022124069741222551053115905995541359297811740,164018391257056691879669387596311441125492198566347944602388470556812758910718628266461252926670233089758485089500504870712912890292489232878470809443471803162215061386456097307917345692434796893589825208365082674152056939760076196707588487785519526970030537630210739213002784543672654301519444483740876869781148444839361226292534158914206886639438579848624302979727544748047003599806546493510604732867152341834530478606957768343195087359966995321948327614040887469217018606840613222151397538816448041784350035253420096606747529131643382684931664821487381107282298835454205783185475712595825409409100814335530424397883070860327760505107683758904742555112191528568353839444403715824149914064639446}
   
8. {131415599816155187491186266092366502605621176948407899518298420876316405039094432770868463010365021207048746537613756785136783052630633761506403716243138704759820409014568968415847703724652283520218343431304653445462465297088438580917088253940164710354102101058557438248087399127602070397259633459802515689924880637617558071960374055492796508522522715368792708659047255770685710720748645223050521376834210104667952020853849044071709891248866422562443928586627577075321450780558906326936755656226029304726554620737704979674048065191116723861720730664496880509206977935348458025624813425794089017239308733579705171433800147127091051860919486405383083040340604430030787268898030667511617648243455109529554472194501777852286549931799256729038694170067424530769877261654148824197958581407023065929376001,10387361490925064778025597723716798097266473410438009441671135216824128238973973028948957745499346598943607647258015759578599834253256922442417100621378790300221776263844915945427425131769560129450290926353349222255351226130473651385551638183993724355415886232399279444441877687929131793237579772683732544466701581404981691976400457855636594872603030837850245829296755224812551155576600978522567486359730370683121379093314757991229948852456053806744280835483861510030039315188644250724691183982880097567233310018112826215347206705613540749268154415419159489177136416586628713796988258900789719788644261480319431648619701530459265933334508662359573087515190286504287653460188434242042798364322610867489068224781623520413822228450387397942265323984495298858271632037750899130741766378367340623430960,821038589741983982088189021132723864586009765874361645428886518385854869054365381252534013961563834430257184335139290934141106548159063091813937851299040177426010544196479971490754703629365799202928727645756357422730244163392598284833696847992220495920657859084222095016167443522507750286171960173283197557591257473890972480071997400127497898982129274993909032645011918711824869622080729524384030903396405954781688677058965029708569113111839516251567748038151420004004664877154672516001958708363417413365420019220382889775920591796528128278236745052713303117753627710057111788304185845751233011786937466773891926220971006699392245192208263686986075579455887752518587582800822863107332508926482492210534654367059065153242557551282512079372492893012372250718775901906179979637851132755827493515824}
   
9. {657836465265969589006683713334029972586901332636216158385803597864541636062477923327502455593623966932739215278609092264030970114485974458043268539670531638073248883146902157711161246701780296888239487333859422530500878677996105443242110936865551879424144674121001389945306805817744587864812385498463884638583878217067665495825689342198526690352448905222242531640661676985456694057088197549171939726090121374779348410915271112216743736737891297955058363523581688602994536530474183893411861912232921738897896175998784604928523897628748826147142624108115963523532653175798755831939456282504633340942852876557723177017272496838564585497358070447694297507955000702564050650907857276106731385980792720225986898756517490547185805669571424483432249825347996271547482234193083202983190184941364757209537869080972112982960996950471084490663384613465768185119060415020114256067237065045558077349040307799001,51996758194531933205931480872036484955500750220182777415788250508362567327295580492406553912668370266310813763621205219280645051396446514826317706873257376261844514693495840832484914936755121315499990076618425479439849290708659996444856183478703316483853027462414013293707813955805679075117463053294734208204586749017407979947778022231995163410142621989479444687567178923938720363132573705283215658144815397009500607570146359990264786544656823976842610486701954893091078821191042939269210871987812126091661777203257903879473338536005224772083024096228577372347305933963404619632673125400513376466752169965675902608533046132747615643160370837496645894541968978380611195900316004971420999988461108297757967091647206821853878684076062027413691984429228452700169058872230246268043266316715501638645120748964118274877434538805432576645530710210528110199874897707724266681213092706212693101796662710280,4109931579495987552408639352097541910479835393039023741630722852517523861892338526895519135766029608182640301881709861647754242952042942728336615254522916220509140955211304121629782781917289128776708987751976147918700587909101923145488834821620023734334817688299817905913612196243192791900301065338808318380278825725704387898661799528494369058064292656531811103866662528803451939835127980465299752764608653263738096938538988851861789672957744435850090290770973549406759507734639456693234552160520452326316305241797654527380119748668747171210249847638990630274598101465719703367038299607958913855148156342188429103282184647496308797858660125675023178648932445386417879808342223721856157301915225458788200667497629104847961681476843608703146187065877182086336457639181259560914298635134845363304563307019642244773780838563772744456251295451313117051840659436961779425951737973113363372870947648602}
   
10. {3292979034749469064319835229318099988614336063433999463042179861596579147577983894414131669487100921386080044768744252254938116154445110666356541241873493208718804036790019212220602940025064206108747335667206348399627059907181025384728974040474504597519031600225709431737034379562911956445825520626226164739261996725225531015532682717980023273114883961230541595846862683474167372655819197778198886242984212946385158964422861116610945752192516399405983193119617626920200439683227833086246964565201681419537793274653348993366684809408165912437099771628939775174770403621565311134249974419746965440415783872631965877248278267181826948006697347965511221302748075800744068914039227690323919413685312967204090360180388684284272679578682853335692280967059456971182245301250506048545224387408944152088895026581267839875239219627377127032164302713241653445266241997230652150338152390023130217686337527125031478523796170324605334853844672591558211274660625686533092493711275179020564242060455736733868650001,260283890678367475073847346671448132371672853406818861317606677339929413646569369818525196628241605514376332808180251865206191241423920743913922252820907112855898697398372259421015252317057794230547616362279653969768791908630622260452107090474837976293685740486176854930973591478511369321046920143816552991479529338615667932417227102157544769769565124880605920389865981332416736666888981269200422375103128468587531014726863883999557860100693926541612924617894657852399808707345009149473644220173145095345893568164920579298222044071549083091830510953522672033965814933564935345109758106182233458019154479956923150622569614729038642171288620349782651323881062974040675700932099512498749653976758545363185240837162825297941246960590026733328709381397210924257571257121117453193071179274793989110325457746733240697075691797530604507132465756025928664642385123239590080448731957045774136981882988365040381058763883504824545235770444294298465757816818332650937661573428835994739054619593374034010089700,20573378400455749857013210894436994448755094920683583460351114287218942631682444272265585936613179616611285235088855411893082151307830568813043533020047244310096610277977214092115858118434653084662133494686907793251082186582765621360784478124208816021680974208037494021553858402033794785926921716275880174781112923778681011800600514429511508951745529287199815554393362945665229244848642716060495014401226634631572630818655555591998823043255204262116210439853006351503818279784700039315251224893834421898159975740326868290072294752673441248712370792162574065755737483227579493583208406921022514583118667243847109004248921680892280143309269200836968141720358354303637972157330276074179727818422711559702557586008702971577945897583015441821822008080843460610158670535887857178475601524579297500325070848392535768030099821293732998933714445522265404929022991036034618045340412793285956197640358843407070755819003799479851079955156686917695851483945648870048931279826747495043571679260488511837463780}

复制代码

wayne

d=2-365的最小解, 可以参考链接 https://www.zhihu.com/question/4 ... 1909010315741462921
原文是 https://play.google.com/books/re ... GBS.PA358&hl=en
Dirichlet 写给 Liouville 的信, 一下子总结了一类数论问题,包括pell方程,三次pell方程, 本质上都是代数数

wayne

关于最小解的查找,有一个比较快的算法,大致思路是这样的,记$\theta^3=d$, 因为 \[1 = x^3+dy^3+d^2z^3-3dxyz =\frac{1}{2} (x+y\theta+z\theta^2) ((x-y\theta)^2+(y\theta-z\theta^2)^2+(x-z\theta^2)^2)\]
所以当$(x,y,z)$很大时,$x+y\theta+z\theta^2$很大, 同时$(x-y\theta)^2+(y\theta-z\theta^2)^2+(x-z\theta^2)^2$很小.于是$x-y\theta \to 0, y-z\theta  \to 0$

知乎的unduloid给出了一个PARI/Gp的算法. 跑了一下,确实还可以,基本上都找到了,神奇的是,没发现漏解, 感兴趣的朋友可以给一个Mathematica的实现版本
https://www.zhihu.com/question/4 ... 1908690727321474683

1. 
   
2. default(realprecision,100000);
   
3. unduloid(N)={
   
4.     A_tmp=[[0, 0, 0; 1, 0, 0; 0, 1, 0], [1, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 1, 0]];
   
5.     B_tmp=A_tmp;
   
6.     A=matid(3); B_inv=A; B=A;
   
7.     alpha=vector(2);
   
8.     alpha[1]=N^(1/3); alpha[2]=N^(2/3);
   
9.     D=vector(3);
   
10.     D[1]=10^1000;
    
11.     for(i=2,3,D[i]=round(D[1]*alpha[i-1]));
    
12.     done=0;
    
13.     while(!done,
    
14.         for(i=1,2,
    
15.             for(j=1,3,A_tmp[i][j,3]=D[j]\D[i]);
    
16.             B_tmp[i]=A_tmp[i]^(-1);
    
17.         );
    
18.         B_szs=vector(2,i,norml2(B_tmp[i]*B));
    
19.         B_szs_prm=vecsort(B_szs,,1);
    
20.         idx=B_szs_prm[1];
    
21.         A=A*(A_tmp[idx]);
    
22.         B=(B_tmp[idx]*B);
    
23.         D=D*(B_tmp[idx])~;
    
24.         done=(1==A[3,3]^3+N*A[2,3]^3+N^2*A[1,3]^3-3*N*A[1,3]*A[2,3]*A[3,3]);
    
25.     );
    
26.     print(A[,3]~);
    
27. }
    

复制代码

wayne

我给一个Mathematica版本的,因为Mathematica提供了LatticeReduce 算法.

1. Block[{d=45,m=1000,step=2},pool={};Do[If[Length[pool]>10,Break[]];{a0,a1,a2,a3}=Round[step^n Table[ Power[d,1/3]^i,{i,0,3}]];
   
2. b=LatticeReduce[{{1,0,0,-a0},{0,1,0,-a1},{0,0,1,-a2}}];
   
3. pool=Union[Flatten[{pool,Select[b[[All,1;;-2]],Function[{x,y,z},x^3+d y^3+d^2z^3-3d x y z-1]@@#==0&]},1]],{n,m}];
   
4. SortBy[Function[{x,y,z},{x^2-d y z,d z^2-x y,y^2-x z}]@@@pool,First]]

复制代码

wayne

比如.2025的下一个素数是2027,对应的最小解是

1. {891078858325756755897670731855433931843579806056498044067464657492860629598178298670939712567206479698410244042761706013531428989461411414176543949050726627426073528533594406832122203489921315372653474373369226128689600950681474695401986376055266351674525538480692134386731267476762892760627558983894280372191291548797024951998560929222386124077995731414805361545929840329282805411585839174869472020679879882219215380592040366631801248917681459953426143956201340785919933100534110353874664005987253139418045809,70409548083467554681413202646328314960557009496547317057041488709808109628058563242766271091941055828370811498960332899688232120106805530455610124071967114362664830113566318753227053106554603001797902598203437881083507038524340219984278736156452904325644836842311233855929566506915530279169052887428044185127231890812285657688122477534570399440244287782013503403824150752876630105370478575128157876317504683834791774806442344047598220650987298856816722043969458585422949673984271666275496565724075977493846316,5563485672449639197245595812963217269121158232434630115037464926469433837600001128233459994770582791936910513594492221638509292032067606491204296680703731437596759123509021478140981053594779145474210902757983722267500773426837415059701490211166217730692090723701850751050478104590901975362405294384441916179312343758485602431250489268386908552433880425266869690090726593434204129716839381909597121538411962211481700217876360738405510450233574747334904236462806722747531191135691345291520272707703788356445930}

复制代码

wayne

10000的下一个素数是10007,最小解是

1. sol={780833866179300867975776184823936622095413917796885551042488453203246284785582507401359646396942332209888615881515573742052959909033789323953828534031409045458234657369089417509490992820167463073383426864371145625929840878265763432069440967223825088886388424396496211915863286898209975722961923074479191777779489206791780567125039144232526389760678590809583730870369803742175351449059237097300496698427171500574206219577166364394455508192902591683870777043068717116955110140648983515155862270315583781412124994268245536887731919139031008080028047206659719506482146580832742425645332514240970043551256539483998769175380315603383172006867139376197270752850398381536998106123706082208965962104309640200919005489604524376768319180741348765941630424992408632256390524942469508168144697573991800281882028855739616730583784351352527905435651460469042171251172867768072097104113865188254737693258831638334960852087479849176944375027982923326144144556533779262748773529785429891895416169891789927185146161048569305843876786592422697812655859475151976259116298507874569939613161686160437603188163053710086655100795302466270719426438913985125278047210934560417311838641487747382532531547008097718716643018789533899869255866896174377682778358470104530320954050094415936006550606789480531674865988777582602269877555506160295336079547989115074482761736276329258465224012041048369158574119654591390298520621749222676010791854898301243682608625634946532659392951827196182695615198714144128011518474761117638061033255217917739839900355936080247186511359215515026114557569889592722890968017124989086905584343655091020388677748460689824685925826968410360972760052400915225739586166441767664388551391307458716368629465747023868356866609533941417515799592152719883777093223358982290216976684134448808309560822351497378501073211283922572891275705628131897986870825627121832666016843790105203680039828764177808203440091630842284562369516381517837332960592558730290272564608580453186023330543926630087806339249110619169346744267869664496786685991645367070869073933641853614133939010143646042681255931562918639095468457732427988530135474737350033906032048042263504437265560263227850494471401818165230726309421565066047902426770072743378549361936179614965577451827315701775709867995937934953474106697071175191614992159931830279389837253001614171072547764026782156819176656528595763276398694511843403205143309322632937666831558624643086070888249090080116343375242612522834848745667118431020762809746343872206506891696259112472107991918047976994917087078380623406054143309422650144972224195351578737943279791374713125763491691000279610526809248458788530797395839963243496198239024681097354265341055252916145465854879911658302132436735640324633801315077454519954845798716665313090119404163024144144112111683319726506457690830607899351520904799049872949513051909265460890903080738487537387661855228556962690916359438763631033065474711694341354644647980032944348870377846137808631427334848146110823484792958727955623579810354361595667101219664072498182092727974484304086561516525729389989718798953858102377922759590952628412746367088860986109500865232399228624566254391616949579071317616894601568012823564938363167603565740916426150149556031400309995538304177311517554935724022182172776412194604359461552525096026573699005838251004157184401566375770353656724552781654793258653003786257509701768169037171893891574551309839067402848057616597957825536989668153966430527264078533156156431587374148823674006348704706690961710927602296715243265487467753664651033381958295221972088194577652067468624274319546050462737896243453017609931059577094018706677273597544314316970418245735981330363718430476272877470488667809354256410981232220257438355612672382933168987616064017055172144184598452576200,36234644763208900513754750094215087874239612704655836964116613174725235290700468155990444734014933323016425974170756371096948843262294621846471368510138896837019480019878813993509267617454397110647623639540467003827460570547477661103437111701624448130223741034725896726228351332596724161782760929511892751889086904599026838383149459962748367862196595122574091205755560347713601424582797372594408695316513266427937872837054056273322507636871118112645892041017874305536130840630378889329980352995539706139165566596628555459203124169908266832662087960181692645445146648180702944665318934375271031343816487616215833568087055763986210706571395879141653568692299250504898052673402696680664091501328461398063670671134611172934565899100695736692670454050199181668452062755828289628945506168733109896267852525065770287783466053679609702423094976028781592831428502236339566673778293064501231125627964475193085311088852681192997445228755214964883951019256744708935042750941819431039805594250551893572651038726026245925428015710754240271689452509889763226390457624360956781698290656336617344458435109528752920546333620350323233200771956268953185426179867856837118076473633292218721274926253193488568238635570029197147568448871890131722463205838262530161696587599045077626517143816316225015883925057109013033235943312987132655273919458837581003285793268276534913735312031744032057218241369281332859036838614315937448340463666021108932259809540699896961485708529786716841537235059714539597870676212079884908535869937784784577457940887666965890966835182259890611142705191058095120972334130354160714138719345160617692775033703082399693548483489605621944004822702875649977483995810948497369892244298147918298496590214680503352597717603988407295086665076711526028430996248367861815332418873242489035142593848321232413126915970205703540234187829807070144491996307414559202618391281244333338405116005417697576471858730033781565277009894757159792664058789063069807270172244165958533333513843106432471601573790487415753540450280104736204789030745671432085096920453635924788957584470563561264178728214277514580094173094614208576335990125592472005936839298677674143273348480703569399458262698397901187057110473516177510943953989849091012175944093784403103087579587149945544976180423041453051470260377094227689274142165815810486841375484926865927063700557995984112407086168228718773899467388801405249977724585708464598277323402830291935195411148357516813819509939353745701744425407380876055226979908885167233638803607488680194095088512055716686929914240297897576688202241175854414377668894256468974941607191845248369210821624436273387222905332010944235798521620577379715294861935861586669119576410922295804023952945953161971310120399555581563695217912829834080355807374993359829702260045655618774972644126856350221676861140595073898691320518242325852785035088899127379496328303329201521348948985838211866885594040914241529833970604288262688441096807892342162172929962565868689824277585650829792466420924838616911144111373066204409368862741527151952894006473349515718503968207903928962191389304364187579263342704201360915740294444406793887385778108560788768117157309498723893215657608228536158224735978819408067786684527631479185599825308018690971204456634909706980276860130332699420239314752792357595892393105428005594033907252965212224085387045716267748019297042939315706922218148675229922599687399605310923302235094157756393528247039278919399871826189238578717168023883354697361300052793345181999384606651147711093279201874258393363566890330572277906454120791609260798696778276302946746975881930620075003454628508255177366008203326403696316718844197810238564785465314271137013252135372332823810240779932088616005622933425194716041531104618829077635802508945821176051059233284407,1681470973512377078372807401454110043343595925491051636126385009130781257593487780150715054124619084807603755880691390934116316942915660870425279533380153549895346646399563722539200735203661341468798159789033757819838363530744973213755852558139251983684755035560781905760338800757664836926466094444194283130002387151754401059507688770928082475116856598664003638433541444364094403910672548282100654734588874608267354323156137418320630036850660161721708821476925595628649817376434783386361700442909934286021236495185512964922549179899417017995827729756470430461086081993655419680104970177696070489844735685188308328323635763542687974312493351949228626034524326570471072103616304092579813527182929383569843679382120588969134597018872832421965656071878728554985916562222720297841947107853834547485802161726579254994836826422757257395628145444817889268445556572458611193498737457132824322395681060132170696515025246467701188360227045439678679209620987138813083018478106705187804627599195265672822694447575642496377004133143155724610518083400944816967139928737552634092216700161744035875454233440145843009248184635846071466996743039656193820563959911019262885658492161031378100434919323158706994785393800542606996074410370676738709166903290375604850640016715054021444088015638583413156387335624132861317161121924268661906422379474237316671268790018041213392152620723371414950476153564326888239476316942537787994098194462767343093481933723146283256345467231047723906690234994963677542946016403307748447223710127142836914140850152656154105773382413841933710023384036071491602101568217149130527915183584643889958614211855445271551067784230147739215147299744107166820269367733199579287685115266556471219112563872478489266946452651909711617876910639525053459831961321053379080727100901866435545585138149619456916406410468748003503197406154650679331001553944976757073816637016521349614119612609033057684537511174880998639341039968069143335398489234369939186665839059161113648751014044038701929383277166673626913843527824205572044464505395112815847906115193789167314805844620848606848251207410130500069751527791841223006874035856018227778198238584093416513758066931961902733863483669240580217066211099890237437882412889855626356003633195839160496520555826955318363287679657411967127920942618635654034989675052642042836244182331199117346743522059397087763801875565529395576956691616714376684968605390517902356120723568567436960101107571581371704158789396488782122932774426034602288448820033997113062881335024032101872706551278459460413440562876810820453978423855179667042775286421006198292955147364686836518698939753227236823256573170822174570130921944659263070981259692937755471336737650943926011332340233660391313270492538325984731045202469067066072022234518495585975556911409289513300053955265429655023731570899177705398159451172933975938736806277514966751392585504268065300557510108903185607252934817083864532710739189369480321305658967609099969139931760377588953784023724076952593334924350758073184703387479087480720434956771413862865170726861190331991314462102534811536260621474017514061538935271128986784980695690987846662468738847270467737062925656131733045428907268839487512163367559192594702188098225164656578569623392099828052182722351487803360175741604116601379716402477079113590713321102350328803242313047934778237078256940413562676626601447520162230990630932139516493408349228539328490773292769550085848748314659035011172686397773003542442399759025446506090201415601290635800438786275721891354035105001247271058898170680284666321955364125771172037229246887635794761187874381831314062046274500650395934783892220438774786077694476518721584170234783439426372366652585685782003776881862484941584156857046669277486511435091835039836579043234789332402644923560};
   
2. 
   
3. Block[{d=10007},Function[{x,y,z},x^3+d y^3+d^2z^3-3d x y z-1]@@sol]

复制代码