初中数学求DP的最小值？

nyy

初中数学求DP的最小值？

王守恩

$∠GCB=a,=>GC=\frac{4}{\cosa}$

$S△PCG=4=\frac{GC*CP\sin45^\circ}{2}=>CP=2\sqrt{2}\cosa$

$DP^2=4^2+CP^2-2*4CP\cos(45^\circ-a)$

$化简可知当\tan(2a)=2时,DP最小值=\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)$

hejoseph

$\triangle BCG$ 绕点 $C$ 旋转至点 $\triangle DCG'$，延长 $CP$，交 $DA$ 于点 $Q$，容易证明 $\triangle CG'Q\cong\triangle CGQ$，所以
\[
GQ=G'Q=DG'+DQ=BG+DQ
\]
过点  $P$ 作 $CD$ 的垂线，垂足为 $T$，设 $BG=x$，$DQ=y$，在 $\triangle AGQ$ 中有
\[
(4-x)^2+(4-y)^2=(x+y)^2
\]
得
\[
x=\frac{4(4-y)}{4+y}
\]
$\triangle CGQ$ 的面积为
\[
4^2-\frac{1}{2}\times 4\cdot x-\frac{1}{2}\times 4\cdot y-\frac{1}{2}(4-x)(4-y)=\frac{16-xy}{2}=\frac{2(16+y^2)}{4+y}
\]
那么
\[
\frac{PT}{DQ}=\frac{S_{\triangle CGP}}{S_{\triangle CGQ}}=\frac{4}{\dfrac{2(16+y^2)}{4+y}}=\frac{2(4+y)}{16+y^2}
\]
所以
\begin{align*}
PT&=\frac{PT}{DQ}y\\
DT&=\left(1-\frac{PT}{DQ}\right)\cdot CD=4\left(1-\frac{PT}{DQ}\right)
\end{align*}
由勾股定理得
\begin{align*}
DP^2&=DT^2+PT^2=16-32\frac{PT}{DQ}+16\left(\frac{PT}{DQ}\right)^2+\left(\frac{PT}{DQ}\right)^2y^2\\
&=16-32\frac{PT}{DQ}+(16+y^2)\left(\frac{PT}{DQ}\right)^2
\end{align*}
把
\[
\frac{PT}{DQ}=\frac{2(4+y)}{16+y^2}
\]
代入 $DP^2$ 中计算得
\[
DP^2=\frac{4(16-8y+5y^2)}{16+y^2}
\]
最后利用二次方程判别式法可求得 $DP^2$ 的最小值为 $12-4\sqrt{5}$，由此可得 $DP$ 最小值为 $\sqrt{10}-\sqrt{2}$，此时 $y=4\sqrt{5}-8$。

mathe

如图，选择F为BC中点，过P做CG的垂线，垂足为E. 设正方形中心为O
于是三角形PEC为等腰直角三角形，所以CE=PE
于是CE*CG=CG=PE=8=CF*CB
所以EFBG四点共圆，得出EF垂直CG.
所以E点在以CF为直径的圆上。
由于P点为E点绕C逆时针旋转45°后再放大\(\sqrt{2}\)倍，所以P点在以O为圆心，CO为半径的圆上。
后面就很简单了

aimisiyou

反演。

Gongwen0519

凑个热闹：

Jack315

如图所示：

\(\frac{CP\cdot GQ}{2}=\frac{CP\cdot CQ}{2}=4\rightarrow CP\cdot CQ=8\)
这表明 P 点和 Q 点为一对反演点，反演中心为 C 点，反演半径为 \(2\sqrt{2}\) 。
G 点在过 A、B 的直线上移动时：
Q 点的轨迹为过 B、D 的直线；P 点的轨迹为圆 O 。
\(r=CO=\sqrt{2}\)
\(DO=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)
\(DP_{min}=DE=DO-r=\sqrt{10}-\sqrt{2}\)
\(DP_{max}=DF=DO+r=\sqrt{10}+\sqrt{2}\)

nyy

瓜豆原理，还有反演，我现在明白了：
一个点的轨迹是直线，那么另外一个点的轨迹就是圆