椭圆上的整数点的计数

wayne

标准椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上,只要选择合适的$a,b$,就可以存在任意大的有限个整数点的. 如何统计这些点的个数.
我发现了奇数次幂的规律,还没有整理出大一统的计数公式.

原帖: https://www.zhihu.com/question/1 ... 1916026223429156958

wayne

假设$S=gcd(a,b),1=gcd(m,n)$,椭圆方程为$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=S^2$,  $S$因子分解为$S=Kp_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$, $p_i$是形如$u^2+v^2$的素数,$K$不存在形如$u^2+v^2$的因子.
那么当$a_i$都是奇数的时候, 计数公式就是$f(S)=(\prod_{i=1}^n2*a_i+1)*3^{n-1}-1$
如果有一个$a_i$是偶数,比如$a_i=2^kA_i$,其中$A_i$是奇数. 那么$f(S)= 2^k f(\frac{S}{p_i^{a_i}}*p_1^{A_i})-(2^k-1)f(\frac{S}{p_i^{a_i}})$