椭圆上的整数点的计数

wayne

标准椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上,只要选择合适的$a,b$,就可以存在任意大的有限个整数点的. 如何统计这些点的个数.
我发现了奇数次幂的规律,还没有整理出大一统的计数公式.

原帖: https://www.zhihu.com/question/1 ... 1916026223429156958

wayne

假设$S=gcd(a,b),1=gcd(m,n)$,椭圆方程为$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=S^2$,  $S$因子分解为$S=Kp_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$, $p_i$是形如$u^2+v^2$的素数,$K$不存在形如$u^2+v^2$的因子.
那么当$a_i$都是奇数的时候, 计数公式就是$f(S)=(\prod_{i=1}^n2*a_i+1)*3^{n-1}-1$
如果有一个$a_i$是偶数,比如$a_i=2^kA_i$,其中$A_i$是奇数. 那么$f(S)= 2^k f(\frac{S}{p_i^{a_i}}*p_1^{A_i})-(2^k-1)f(\frac{S}{p_i^{a_i}})$

mathe

对于一般情况\(\frac{x^2}a+\frac{y^2}b=1\),其中a,b为整数的情况，
设\(g=(a,b)\)并且记\(a=ga_0,b=gb_0\),并且设\(a_0=u_0^2s_0,b_0=v_0^2t_0\),其中\(s_0,t_0\)无平方因子，也就是因数分解后每个素因子只有一次;而且\(gcd(a_0,b_0)=1\)
代入后得到公式
\(u_0^2s_0y^2+v_0^2t_0x^2=gu_0^2v_0^2s_0t_0\)
容易看出\(v_0^2t_0|y^2, u_0^2s_0|x^2\), 由于\(t_0,s_0\)无平方因子，得到\(v_0t_0|y,u_0s_0|x\)
设\(y=v_0t_0y_0,x=u_0s_0x_0\),代入前式得到
\(g=s_0x_0^2+t_0y_0^2\)
然后我们可以枚举这个表达式得到所有候选\(x_0,y_0\)并由此得出所有\(x,y\).
  (前面式子还可以通过模8和5进一步排除一些情况）

xiaoshuchong

考虑正整数n，其有f(n)种方式拆成两个整数平方和，那么$f\left(n\right)=4\left[\sigma_{1}\left(n\right)-\sigma_{3}\left(n\right)\right]$（Jacobi二平方定理）
以下给出一个简洁的公式，可能有不严谨的地方
其中$\sigma_{i}\left(n\right)$表示n的所有因子中模4余$i$的个数,i=1或者3。
假设$P\left(a,b\right)$是$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上的整点个数，那么我们有
$$ P\left(a,b\right)=f\left(\gcd\left(a^{2},b^{2}\right)\right) $$

整点的构造直接和平方和拆分一一对应。 具体而言，考虑椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=n$，a，b互素，则
$k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=n$对应整点$\left(x,y\right)=\left(ak_{1},bk_{2}\right)$

参考链接
https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_two_squares_theorem

nyy

通过连分数能计算！