两个经典的几何题

jx215 · 发表于 2013-5-1 23:01:12

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⊙O₁,O₂分别为△ABC内切圆和外接圆圆心，⊙O₁在⊙O₂内部。在外接圆O₂上任取一点D，作O₁两条切线DE和DF，E,F在外接圆⊙O₂上，连接EF 求证：EF也是⊙O₁切线。如果推广到n边形呢？

jx215 · 发表于 2013-5-1 23:04:16

第二题三角形ABC中,CD=AE=BF,连接BD,CE,AF,三条线相交得到I,G,H,若三角形IGH为等边三角形,问三角形ABC是否也为等边三角形? 如果是,怎么证明?如果不是,请说明理由或给出反例.

jx215 · 发表于 2013-5-1 23:05:28

以上两题能否有较初等的解法？有无纯几何的方法？

jx215 · 发表于 2013-5-1 23:18:34

另外，第二题若推广到正方形，正五边形，直到正n边形也似乎成立

云梦 · 发表于 2013-5-5 14:39:45

似乎所有的正N边形都是成立的，证明方法一定有巧妙的方法。

kastin · 发表于 2013-12-11 14:56:42

对于n边形也成立，这是个几何定理。

kastin · 发表于 2013-12-11 15:00:10

jx215 发表于 2013-5-1 23:04
第二题
三角形ABC中,CD=AE=BF,连接BD,CE,AF,三条线相交得到I,G,H,若三角形IGH为等边三角形,问三角形ABC是 ...

这类问题在于构造性是否成立。
首先要指出的是，你所绘制的图形本身将结论和已知条件换顺序了（你绘制的三角形ABC本身就是一个正三角形，不然的话，纯手工绘图你很难做到让CD=AE=BF），所以光从图形上看上去，所给命题好像是成立的，但是如果直接按照题目去绘制这种符合要求的三角形，似乎不一定能做到。当然，如果能找到这样的图形，那么命题结论一定成立。

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