求立方数

数论爱好者

最近,论坛平方数的话题有点多,先做个引子
(1+p^2)/2结果是一个平方数,p为素数.
(1+7^2)/2=25
结果找到14个解,
https://oeis.org/A088165
素数那么多,总不能一个一个的试除,然后开平方,如果你能够找到第15个解,可能大于100位了,告诉我你的方法,我要好好跟你学一学.
今天的问题: (1+a^2)/2结果是一个立方数,a为自然数.
a=1是它的一个通解.
问题转化为:a^2=2k^3-1,又跑到椭圆方程上去了.
有资料说,没有找到,a=239,k=13是一个解,可我验证不成立.
从数论上来说,应该有几个解存在.a在10000以内没有找到.如果只有一个解存在,任何严格证明?

数论爱好者

a^2=2k^3-1,太难,过几天又研究
对一般情况研究看看
x^3-y^2=2,有解,3^3-5^2=2
x^3-y^2=3,无解,
x^3-y^2=4,有解,5^3-11^2=4
x^3-y^2=5,无解,
x^3-y^2=6,无解,
然后做了个系列x^3-y^2=m,m取值1到100,x的值搜索到1000,x^3=10^9 可能够用了
发现m=1 到 100 中，有解的 m 的数量：44
如:x^3-y^2=7
x^3-y^2=11
x^3-y^2=13
x^3-y^2=19
x^3-y^2=23
x^3-y^2=47
x^3-y^2=53
x^3-y^2=61
x^3-y^2=67
x^3-y^2=71
x^3-y^2=79
x^3-y^2=83
x^3-y^2=89等等
无解的 m 56个：[3, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 21, 22, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 41, 42, 43, 46, 50, 51, 52, 57, 58, 59, 62, 65, 66, 68, 69, 70, 73, 75, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 86, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99]
原先我初步认为有解的 m 的数量可能符合素数分布,即m/lnm
专门在小范围内进行素数类型的统计,略大于素数分布,但一直呈现下降趋势,无穷大可能还是符合素数分布的规律
前 25 个素数中有解的比例：56.00%
前 50 个素数中有解的比例：48.00%
前 100 个素数中有解的比例：39.00%
前 200 个素数中有解的比例：32.00%
前 500 个素数中有解的比例：28.40%

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-6-21 18:13
a^2=2k^3-1,太难,过几天又研究
对一般情况研究看看
x^3-y^2=2,有解,3^3-5^2=2

退一步,a^2+1是立方数无解
a^2-1是立方数,一个解,3^2-1=2^3

wayne

数论爱好者 发表于 2025-6-21 18:13
a^2=2k^3-1,太难,过几天又研究
对一般情况研究看看
x^3-y^2=2,有解,3^3-5^2=2

根据 $k->X/2,  a->Y/2$可以得到 $Y^2=X^3-4$, 秩为1
https://beta.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/432/d/1

1. {(1,1,1),(2,2,1),[(1, 0), (1, 1)] }
   
2. {(1,3,1),(5,-11,1),[(2, 0), (2, 1)] }
   
3. {(5,7,1),(106/9,1090/27,1),[(3, 0), (3, 1)] }
   
4. {(7,11,1),(785/484,-5497/10648,1),[(4, 0), (4, 1)] }
   
5. {(11,16,1),(151322/3721,-58862702/226981,1),[(5, 0), (5, 1)] }
   
6. {(15,22,1),(8045029/2673225,21077984917/4370722875,1),[(6, 0), (6, 1)] }
   
7. {(21,31,1),(5495994962/1957089121,-368819269296622/86579665623919,1),[(7, 0), (7, 1)] }
   
8. {(25,37,1),(3227836439105/58500129424,5799120182710629023/14149309303524032,1),[(8, 0), (8, 1)] }
   
9. {(33,49,1),(8152570498330546/4944742493612769,241351355149002573947470/347708669978634678361647,1),[(9, 0), (9, 1)] }
   
10. {(40,60,1),(32786487748262370725/3223146653090632921,-187376684827540113816418141909/5786555188766724790916482531,1),[(10, 0), (10, 1)] }
    
11. {(49,72,1),(775591358322596517307322/140311824962137940692681,674908317729768049643355850347699278/52558312156241243832650598792940421,1),[(11, 0), (11, 1)] }
    
12. {(57,86,1),(9106951205882530770279227281/4750657097043745532284388100,-571343831586698159826130934072937894196679/327439091144059530733072053389243920779000,1),[(12, 0), (12, 1)] }
    
13. {(66,99,1),(2251404727121346163900530607763402/1108403846275337836714173969481,-106826834690417569186800303024095770436569262752162/1166935995153270243867433450096651176852696379,1),[(13, 0), (13, 1)] }

复制代码