求立方数

数论爱好者

最近,论坛平方数的话题有点多,先做个引子
(1+p^2)/2结果是一个平方数,p为素数.
(1+7^2)/2=25
结果找到14个解,
https://oeis.org/A088165
素数那么多,总不能一个一个的试除,然后开平方,如果你能够找到第15个解,可能大于100位了,告诉我你的方法,我要好好跟你学一学.
今天的问题: (1+a^2)/2结果是一个立方数,a为自然数.
a=1是它的一个通解.
问题转化为:a^2=2k^3-1,又跑到椭圆方程上去了.
有资料说,没有找到,a=239,k=13是一个解,可我验证不成立.
从数论上来说,应该有几个解存在.a在10000以内没有找到.如果只有一个解存在,任何严格证明?

数论爱好者

a^2=2k^3-1,太难,过几天又研究
对一般情况研究看看
x^3-y^2=2,有解,3^3-5^2=2
x^3-y^2=3,无解,
x^3-y^2=4,有解,5^3-11^2=4
x^3-y^2=5,无解,
x^3-y^2=6,无解,
然后做了个系列x^3-y^2=m,m取值1到100,x的值搜索到1000,x^3=10^9 可能够用了
发现m=1 到 100 中，有解的 m 的数量：44
如:x^3-y^2=7
x^3-y^2=11
x^3-y^2=13
x^3-y^2=19
x^3-y^2=23
x^3-y^2=47
x^3-y^2=53
x^3-y^2=61
x^3-y^2=67
x^3-y^2=71
x^3-y^2=79
x^3-y^2=83
x^3-y^2=89等等
无解的 m 56个：[3, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 21, 22, 24, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 41, 42, 43, 46, 50, 51, 52, 57, 58, 59, 62, 65, 66, 68, 69, 70, 73, 75, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 86, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99]
原先我初步认为有解的 m 的数量可能符合素数分布,即m/lnm
专门在小范围内进行素数类型的统计,略大于素数分布,但一直呈现下降趋势,无穷大可能还是符合素数分布的规律
前 25 个素数中有解的比例：56.00%
前 50 个素数中有解的比例：48.00%
前 100 个素数中有解的比例：39.00%
前 200 个素数中有解的比例：32.00%
前 500 个素数中有解的比例：28.40%

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-6-21 18:13
a^2=2k^3-1,太难,过几天又研究
对一般情况研究看看
x^3-y^2=2,有解,3^3-5^2=2

退一步,a^2+1是立方数无解
a^2-1是立方数,一个解,3^2-1=2^3