三维体不等式

zj_mbh · 发表于 2025-6-27 08:20:41

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|x|,|y|,|z|<=1时,2xyz<=x^2+y^2+z^2求证明或证明不成了！

gxqcn · 发表于 2025-6-27 13:20:27

\(\because \abs{z}\leqslant 1\),
\(\therefore x^2+y^2 \geqslant 2\abs{x}\*\abs{y} \geqslant 2\abs{x}\*\abs{y}\*\abs{z} = 2\abs{x y z}\)
同理，\(y^2 + z^2 \geqslant 2\abs{x y z}\), \( z^2 + x^2 \geqslant 2\abs{x y z}\)，
三个不等式相加除以2，得 \(x^2+y^2+z^2 \geqslant 3\abs{x y z} \geqslant 2\abs{x y z} \geqslant 2xyz \)

zj_mbh · 发表于 2025-6-30 07:59:46

很漂亮的证明！

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[原创] 三维体不等式

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