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[讨论] x^3+y^3+2*z^3=76的整数解

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发表于 2025-6-30 12:03:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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$x^3+y^3+2 z^3=76$的整数解.
知乎原帖: https://www.zhihu.com/question/31247891
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-6-30 22:19:49 | 显示全部楼层
找到一组有理数解:$76=(41/3)^3+(35/3)^3-2*(38/3)^3$

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-6-30 22:46:17 | 显示全部楼层
原来如此:

$(a+b)^3+(a-b)^3+2(-a)^3=6ab^2=n$

令$a=\fracn6,b=1$,

可得:$(\fracn6+1)^3+(\fracn6-1)^3+2(-\fracn6)^3=n$

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发表于 2025-7-6 10:27:01 | 显示全部楼层
这个题目我们可以考虑穷举z,
然后做变量替换y=d-x,代入,得到
\(3dx^2-3d^2x+d^3=76-2z^3\)
由此得到d只能是\(76-2z^3\)的一个因子,所以可以在给定z的前提下,再次穷举d,然后变成关于x的二次方程
\(3x^2-3dx+d^2-\frac{76-2z^3}d=0\)

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可能下一个解会很大  发表于 2025-7-6 10:50

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northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 妙哉!
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 楼主| 发表于 2025-7-6 10:51:32 | 显示全部楼层
如果这种题解决了, 那么 方法基本上可以迁移到 $x^3+y^3+z^3=114$
截止 2019年,$x^3+y^3+z^3=n, 0<n<1000 $没有解决的n是 114, 390, 627, 633, 732, 921,975
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-7-6 10:51:33 | 显示全部楼层
看起来76是精心挑选的,后面应该还有148,183

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n=114,390,579,627,633,732,795,921,975.  发表于 2025-7-6 12:37
x^3+y^3+z^3=114的整数解  发表于 2025-7-6 11:21
你是说x^3+y^3+z^3=114还是x^3+y^3+2z^3=114? 后者很容易的:-3^3+5^3+2*2^3=114  发表于 2025-7-6 11:11
:), 是的. 114 也很大. 至今未解决  发表于 2025-7-6 10:52
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发表于 2025-7-6 12:53:42 | 显示全部楼层
  1. https://people.maths.bris.ac.uk/%7Emaarb/papers/cubesv1.pdf
复制代码
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 楼主| 发表于 2025-7-6 14:56:35 | 显示全部楼层
$x^3+y^3+z^3=n, 0<n<1000$的只剩下这几个未解决 114, 390, 627, 633, 732, 921, and 975.
https://arxiv.org/pdf/2007.01209
$579=(143\ 075\ 750\ 505\ 019\ 222\ 645)^3 + (-143\ 070\ 303\ 858\ 622\ 169\ 975)^3 + (-6\ 941\ 531\ 883\ 806\ 363\ 291)^3$
$795=(−14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^3+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^3+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^3$

https://aperiodical.com/2019/09/ ... 123297335631%C2%B3/

Screenshot 2025-07-06 at 15.40.17.png

参考链接:http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph145e.html
不过该链接数据比较老.
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 楼主| 发表于 2025-7-6 15:13:02 | 显示全部楼层
至于$x^3+y^3+2 z^3=d$, 有两篇比较新的文章:
https://arxiv.org/abs/1109.2396v1
http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/fourcubes1.html
根据链接Now the remaining numbers are( On Feb 22, 2020 ) , $x^3+y^3+2 z^3=d$ 没有找到解的剩下 d=148, 671, 5468, 7799, 8968.
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