x^3+y^3+2*z^3=76的整数解

wayne

$x^3+y^3+2 z^3=76$的整数解.
知乎原帖: https://www.zhihu.com/question/31247891

northwolves

找到一组有理数解：$76=(41/3)^3+(35/3)^3-2*(38/3)^3$

northwolves

原来如此：

$(a+b)^3+(a-b)^3+2(-a)^3=6ab^2=n$

令$a=\fracn6,b=1$,

可得：$(\fracn6+1)^3+(\fracn6-1)^3+2(-\fracn6)^3=n$

mathe

这个题目我们可以考虑穷举z,
然后做变量替换y=d-x,代入，得到
\(3dx^2-3d^2x+d^3=76-2z^3\)
由此得到d只能是\(76-2z^3\)的一个因子，所以可以在给定z的前提下，再次穷举d,然后变成关于x的二次方程
\(3x^2-3dx+d^2-\frac{76-2z^3}d=0\)

wayne

如果这种题解决了, 那么 方法基本上可以迁移到 $x^3+y^3+z^3=114$
截止 2019年,$x^3+y^3+z^3=n, 0<n<1000 $没有解决的n是 114, 390, 627, 633, 732, 921,975

mathe

看起来76是精心挑选的，后面应该还有148,183

northwolves

1. https://people.maths.bris.ac.uk/%7Emaarb/papers/cubesv1.pdf

复制代码

wayne

$x^3+y^3+z^3=n, 0<n<1000$的只剩下这几个未解决 114, 390, 627, 633, 732, 921, and 975.
https://arxiv.org/pdf/2007.01209
$579=(143\ 075\ 750\ 505\ 019\ 222\ 645)^3 + (-143\ 070\ 303\ 858\ 622\ 169\ 975)^3 + (-6\ 941\ 531\ 883\ 806\ 363\ 291)^3$
$795=(−14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^3+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^3+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^3$

https://aperiodical.com/2019/09/ ... 123297335631%C2%B3/



参考链接:http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph145e.html
不过该链接数据比较老.

wayne

至于$x^3+y^3+2 z^3=d$, 有两篇比较新的文章:
https://arxiv.org/abs/1109.2396v1
http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/fourcubes1.html
根据链接Now the remaining numbers are( On Feb 22, 2020 ) , $x^3+y^3+2 z^3=d$ 没有找到解的剩下 d=148, 671, 5468, 7799, 8968.