一个令人困惑的问题

四来

如图，有边长为 1 （面积为\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)）的正三角形ABC，将 A 点折叠到线段 BC 上（第1步）；余下各步，将新得到的所有 `A_{ij}`点都折叠到 BC 上，直至无穷(i → ∞).

有两个显而易见的事实：
（1）无论折叠多少次，折线段的长度不会变化，都等于最初的长度 1+1=2 ；
（2）折线段与线段 BC 所夹面积会逐步减半并趋于 0 , 即 \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1}{2^n}=0\)

那么，折线段最终是否会与线段 BC 重合？

如果能重合，也就是说折线段最终变成线段，然而折线段长度为 2 ，线段 BC 长度为 1，长度不一样的两条线段怎么能重合？

如果不能重合，折线段与线段 BC 所夹面积就不能等于0，那么等于多少？

northwolves

每次折叠只是改变折线段的形状，而没有改变其长度，两条线段永远不会重合。

四来

northwolves 发表于 2025-7-5 10:49
每次折叠只是改变折线段的形状，而没有改变其长度，两条线段永远不会重合。 ...

然后呢，所夹面积为 0 咋解释？

sheng_jianguo

这是一个非常有意思的问题。
下面说一下我的看法：
首先要搞清楚，折叠无穷次的曲线是什么或应该怎样合理定义。
数学上没有看到有严格定义，不是没法定义，而是各种定义总会产生明显不合理的地方。
"ε-δ"极限定义只能说折线趋于某曲线，并不能说明实达。
"ε-δ"极限定义是建立在实数系上的，在超实数系中，结论会有不一样的结果。
认为"ε-δ"极限定义就是折叠无穷次的实达结果，为什么会产生不可理解的结论？
我以为，一个原因是认定折线上的点求极限后的曲线和折线长度求极限后的曲线是同一曲线造成的。
所以，折叠无穷次的曲线现在无法定义确定，只能说此曲线的长度为2。

sheng_jianguo

再补充一下
我以为，如果在超实数系中分析，你的问题可得到解决。
在超实数系中，你说的折线折叠无穷次后曲线还是折线，只不过每一小段折线长度为无穷小（注意：任何无穷小在超实数系中都是确定的数）。
此曲线的长度为2，曲线与BC间的面积为无穷小（不等于0）。
此曲线按BC轴旋转后的表面积为无穷小（不等于0），旋转后的体积也是无穷小（不等于0）。

mathe

数学需要定义一套能够自相容的体系，如果出现悖论，就说明定义本身出了问题。体现到本题，就说明我们不能使用任意无穷逼近曲线的折线段总长定义曲线长度。
类似为了定义集合大小，我们会发现自然数集和其中真子集(偶数)可以一一对应，从而在无穷集合中需要重新定义大小关系