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以下是对“所有形如 4k + 1 的素数都只能以一种方式表示为两个正整数的平方和(不考虑顺序)”的完整证明,整合数论推导与几何直观补充,逻辑更连贯:
定理
若素数 p \equiv 1 \pmod{4} ,则 p 表示为两个正整数平方和的方式唯一(不考虑顺序)。
证明步骤
1. 存在性(前置结论,可单独证明)
通过“-1 是模 p 的二次剩余”及不等式估计,可证:
若 p \equiv 1 \pmod{4} ,则存在正整数 a,b 使得 p = a^2 + b^2 。
(注:存在性证明可独立展开,此处默认已知,聚焦唯一性。)
2. 唯一性:假设两种表示,推导“表示唯一”
设 p 有两种不同的正整数平方和表示(不考虑顺序时):
p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2
其中 0 < b < a < \sqrt{p} , 0 < d < c < \sqrt{p} ,且 \{a,b\} \neq \{c,d\} (反证法假设)。
(1) 同余推导与关键等式
由 p = a^2 + b^2 ,得 a^2 \equiv -b^2 \pmod{p} ;
同理,由 p = c^2 + d^2 ,得 c^2 \equiv -d^2 \pmod{p} 。
两式相乘,利用同余性质:
a^2c^2 \equiv b^2d^2 \pmod{p}
因式分解平方差:
(ac + bd)(ac - bd) \equiv 0 \pmod{p}
(2) 分析 ac - bd 与 p 的关系
由 0 < b < a < \sqrt{p} , 0 < d < c < \sqrt{p} ,得:
0 < ac - bd < ac < \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} = p
因此, ac - bd 与 p 互质(若 p \mid (ac - bd) ,则 ac - bd = 0 或 p ,但 0 < ac - bd < p ,故不成立)。
(3) 确定 ac + bd = p
由 (ac + bd)(ac - bd) \equiv 0 \pmod{p} ,且 \gcd(ac - bd, p) = 1 ,根据同余性质:
p \mid (ac + bd)
再结合范围估计:
0 < ac + bd < \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} + \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} = 2p
因此,唯一可能为 ac + bd = p 。
(4) 几何直观:直线与圆的交点唯一性
由 ac + bd = p ,结合 p^2 = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 (数论恒等式),代入得:
p^2 = p^2 + (ad - bc)^2 \implies ad - bc = 0
即 ad = bc ,整理得 \frac{b}{a} = \frac{d}{c} = k ( k > 0 为有理数)。
此时,点 (a,b) 与 (c,d) 均满足:
- 圆方程: x^2 + y^2 = p (因 a^2 + b^2 = p , c^2 + d^2 = p )
- 直线方程: y = kx (因 b = ka , d = kc )
由于圆 x^2 + y^2 = p 在第一象限内单调递减( y = \sqrt{p - x^2} ),且直线 y = kx 过原点,因此第一象限内圆与直线最多有一个交点。
故 (a,b) 与 (c,d) 必为同一点,即 \{a,b\} = \{c,d\} (不考虑顺序)。
结论
所有形如 4k + 1 的素数,表示为两个正整数平方和的方式唯一(不考虑顺序)。
核心逻辑:通过反证法假设“两种表示”,利用同余推导锁定 ac + bd = p ,再结合几何交点唯一性,证明“两种表示实际相同”,从而完成唯一性证明。
豆包读取我的图片,然后给出的证明 |
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