4k+1素数只能表达成一对正整数的平方和的证明！

nyy

不考虑两个正整数的顺序。
以前不太会这个证明，
昨天问人工智能，
人工智能给了我一个思路，
但是我觉得人工智能证明的不够好，
只能说给了一些思路，
然后我再结合自己的思路，
写出一个证明！
发出来共享起来一下。
也许有人有更好的思路。
以后有时间整理成latex。

nyy

以下是对“所有形如  4k + 1  的素数都只能以一种方式表示为两个正整数的平方和（不考虑顺序）”的完整证明，整合数论推导与几何直观补充，逻辑更连贯：

定理

若素数  p \equiv 1 \pmod{4} ，则  p  表示为两个正整数平方和的方式唯一（不考虑顺序）。

证明步骤

1. 存在性（前置结论，可单独证明）

通过“-1 是模  p  的二次剩余”及不等式估计，可证：
若  p \equiv 1 \pmod{4} ，则存在正整数  a,b  使得  p = a^2 + b^2 。
（注：存在性证明可独立展开，此处默认已知，聚焦唯一性。）

2. 唯一性：假设两种表示，推导“表示唯一”

设  p  有两种不同的正整数平方和表示（不考虑顺序时）：
p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2
其中  0 < b < a < \sqrt{p} ， 0 < d < c < \sqrt{p} ，且  \{a,b\} \neq \{c,d\} （反证法假设）。

(1) 同余推导与关键等式

由  p = a^2 + b^2 ，得  a^2 \equiv -b^2 \pmod{p} ；
同理，由  p = c^2 + d^2 ，得  c^2 \equiv -d^2 \pmod{p} 。

两式相乘，利用同余性质：
a^2c^2 \equiv b^2d^2 \pmod{p}
因式分解平方差：
(ac + bd)(ac - bd) \equiv 0 \pmod{p}

(2) 分析  ac - bd  与  p  的关系

由  0 < b < a < \sqrt{p} ， 0 < d < c < \sqrt{p} ，得：
0 < ac - bd < ac < \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} = p

因此， ac - bd  与  p  互质（若  p \mid (ac - bd) ，则  ac - bd = 0  或  p ，但  0 < ac - bd < p ，故不成立）。

(3) 确定  ac + bd = p

由  (ac + bd)(ac - bd) \equiv 0 \pmod{p} ，且  \gcd(ac - bd, p) = 1 ，根据同余性质：
p \mid (ac + bd)

再结合范围估计：
0 < ac + bd < \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} + \sqrt{p} \cdot \sqrt{p} = 2p

因此，唯一可能为  ac + bd = p 。

(4) 几何直观：直线与圆的交点唯一性

由  ac + bd = p ，结合  p^2 = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 （数论恒等式），代入得：
p^2 = p^2 + (ad - bc)^2 \implies ad - bc = 0

即  ad = bc ，整理得  \frac{b}{a} = \frac{d}{c} = k （ k > 0  为有理数）。

此时，点  (a,b)  与  (c,d)  均满足：

- 圆方程： x^2 + y^2 = p （因  a^2 + b^2 = p ， c^2 + d^2 = p ）
- 直线方程： y = kx （因  b = ka ， d = kc ）

由于圆  x^2 + y^2 = p  在第一象限内单调递减（ y = \sqrt{p - x^2} ），且直线  y = kx  过原点，因此第一象限内圆与直线最多有一个交点。

故  (a,b)  与  (c,d)  必为同一点，即  \{a,b\} = \{c,d\} （不考虑顺序）。

结论

所有形如  4k + 1  的素数，表示为两个正整数平方和的方式唯一（不考虑顺序）。

核心逻辑：通过反证法假设“两种表示”，利用同余推导锁定  ac + bd = p ，再结合几何交点唯一性，证明“两种表示实际相同”，从而完成唯一性证明。

豆包读取我的图片，然后给出的证明

hujunhua

唯一性：用反证法。
假设  p  有两种不同的正整数平方和表示（不考虑顺序时）：
`𝑝=𝑎^2+𝑏^2=𝑐^2+𝑑^2`,  其中 0<𝑏<𝑑<𝑐<𝑎<√𝑝 。

(1) `p=𝑎^2+𝑏^2=𝑐^2+𝑑^2→𝑝(𝑎^2−𝑐^2)=(𝑎𝑑−𝑏𝑐)(𝑎𝑑+𝑏𝑐)` 。
由 0<𝑏<𝑑<𝑐<𝑎<√𝑝 知：
0 < ad - bc < ad < p →  (ad - bc) 与  p  互质, p | (ad + bc)
0 < ad + bc < 2p  →  ad + bc = p

(2) `𝑝=𝑎^2+𝑏^2=𝑐^2+𝑑^2→𝑝^2=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)^2+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)^2 `，
将 ad + bc = p代入得：ac - bd = 0

(3)  0 < b < d < c < a  → ac >bd

(2)与 (3)的结论相矛盾，假设不成立

nyy

hujunhua 发表于 2025-7-9 02:28
假设  p  有两种不同的正整数平方和表示（不考虑顺序时）：
$p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$,  其中  `0 < b  ...

第一部分，那个是p的倍数，
如何推导出来？
如果我不用同余，我是不知道如何搞出来。
你给的我也看不懂

hujunhua

已知`p=a^2+b^2`, 假设 $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$,  其中  `0 < b ≤ d < c ≤a < \sqrt{p}` 。

1) 0 < b ≤ d < c ≤a → ad ≥bc, 当且仅当a=c, b=d时等号成立。

2) `p = a^2 + b^2 =c^2+d^2 →  p(a^2-c^2)=(ac-bd)(ac+bd)` 。
由 `0 < b < d < c < a < \sqrt{p}` 知：
0 < ac - bd < ac < p →  (ac - bd) 与  p  互质, p | (ac + bd)
0 < ac + bd < 2p  →  ac + bd = p

3)  `p = a^2 + b^2 =c^2+d^2 →p^2 = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2` ，
将 ac + bd = p代入得：ad = bc, 由1)知 a=c, b=d。
所以只有 `p=a^2+b^2`一种平方和。