假设二次曲线是抛物线，如何求抛物线开口方向所对应的向量？

nyy

假设二次曲线是抛物线，如何求抛物线开口方向所对应的向量？

这个二次曲线是一般形式的。

nyy

如果系数矩阵是A，
对应的代数余子式为
A31(第3行第一列代数余子式)与A32，
那么开口方向对应的向量就是
(A31,A32)，
如何证明？

hujunhua

开口方向对应的向量对应于抛物线与无穷远线的切点。
设这个切点为t, 则有 At=k(0,0,1),(k是一个任意系数, 以下省略）
所以t=A*·(0,0,1)=$(A_31,A_32,A_33)$
抛物线的$A_33=0$, 所以 $t=(A_31,A_32,0)$

hujunhua

对于用系数矩阵 A （对称矩阵）表示的一般二次曲线，它的中心 C 的齐次坐标就是 $(A_31,A_32,A_33)$。
因为中心是无穷远线(0,0,1)的极点。

nyy

在二次曲线的齐次坐标表示中，**抛物线的开口方向**与其**中心坐标**（位于无穷远点）之间存在明确的几何关系。以下是详细的解释：

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### **1. 抛物线的中心坐标**
在齐次坐标下，抛物线的中心是**无穷远点**，因为其对应的方程组解满足 \( z_0 = 0 \)（见之前的推导）。例如：  
- 抛物线 \( y^2 = 4px \) 的齐次方程为 \( y^2 - 4pxz = 0 \)，其中心坐标为 \( (1, 0, 0) \)（无穷远点）。

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### **2. 开口方向的向量**
抛物线的开口方向由它的对称轴方向决定：  
- 对于标准抛物线 \( y^2 = 4px \)：  
  - 开口方向为 \( x \) 轴正方向，向量为 \( \mathbf{v} = (1, 0) \)。  
  - 对应的无穷远点为 \( (1, 0, 0) \)。  
- 对于一般抛物线 \( ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dxz + 2eyz + fz^2 = 0 \)，开口方向可通过对称轴方向确定。

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### **3. 中心坐标与开口方向的关系**
- **几何意义**：  
  抛物线的中心是无穷远点，该点正好位于开口方向的“极限位置”。即：  
  - 开口方向向量 \( \mathbf{v} = (v_x, v_y) \) 对应的齐次无穷远点为 \( (v_x, v_y, 0) \)。  
  - **中心坐标即为开口方向的无穷远点**。

- **代数验证**：  
  1. 对抛物线方程求偏导，解中心方程组时，必然得到 \( z_0 = 0 \)（因为抛物线无有限中心）。  
  2. 中心坐标 \( (x_0, y_0, 0) \) 的方向与开口方向 \( \mathbf{v} = (x_0, y_0) \) 一致。

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### **4. 例子分析**
#### **抛物线 \( y^2 = 4x \)（齐次方程：\( y^2 - 4xz = 0 \)）**
- **中心坐标**：  
  解方程组：
  \[
  \begin{cases}
  \frac{\partial F}{\partial x} = -4z = 0, \\
  \frac{\partial F}{\partial y} = 2y = 0, \\
  \frac{\partial F}{\partial z} = -4x = 0.
  \end{cases}
  \]
  解得 \( z = 0 \), \( y = 0 \)，\( x \) 任意。因此中心为无穷远点 \( (1, 0, 0) \)。  

- **开口方向**：  
  标准开口方向为 \( x \) 轴正方向 \( (1, 0) \)，与中心坐标 \( (1, 0, 0) \) 一致。

#### **旋转抛物线 \( x^2 - 2xy + y^2 - 4z = 0 \)**
- **中心坐标**：  
  解方程组得 \( (1, 1, 0) \)。  
- **开口方向**：  
  对称轴方向为 \( (1, 1) \)，与中心坐标对齐。

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### **5. 关键结论**
- **抛物线的中心是开口方向的无穷远点**：  
  齐次坐标 \( (x_0, y_0, 0) \) 直接对应仿射方向 \( (x_0, y_0) \)。  
- **几何直观**：  
  抛物线在开口方向“延伸至无穷远”，因此中心位于该方向的无穷远点。

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### **6. 数学本质**
这一关系反映了射影几何中“无穷远点”与方向的一致性。开口方向向量的齐次坐标恰好是抛物线的中心，这是二次曲线在射影平面上的全局性质。