闭集E与一点\(p \notin E\)的距离是否有可能不大于0？

jiewenji

数学分析原理P78定理4.16。白启光老师的公开课中针对这个定理给出了一个例题用以具象化定理4.16。例题如下：

4.16 定理 设 \( f \) 是紧度量空间 \( X \) 上的连续实函数，并且  
\[
M = \sup_{p \in X} f(p), \quad m = \inf_{p \in X} f(p),
\]
那么，一定存在两点 \( r,\, s \subseteq X \)，使得 \( f(r) = M \)，及 \( f(s) = m \)。





例题：度量空间\(X\)，紧集\(E\subseteq X,X内一点p \notin E\)。\(d(p,E) := \inf\{d(p,q),q \in E\}\) 。

请问如果\(E\)不是紧集，那么\(d(p,E)\)是否还一定大于零？
请问如果\(E\)是闭集，那么\(d(p,E)\)是否还一定大于零？





我的疑问来自于第二问。老师说，即便\(E\)是闭集\(d(p,E)\)也不一定大于零

如果不从函数的角度考虑，只从拓扑的角度考虑，第一问容易看出，如果\(E\)不是紧集，那么\(E\)可能不是闭集，也不一定有界。如果点\(p \notin E\)是\(E\)的极限点，那么\(d(p,E)=0\)，也就是\(d(p,E)\)不一定大于零。

但是第二问，\(E\)已经是闭集，闭集包含了所有的极限点。此时还有哪种情况使得\(d(p,E)\)不一定大于零呢？我实在想不出这样的例子。O3也说这种情况下\(d(p,E)\)一定大于零。这个问题已经超出了定理4.16的范围了。

【高等微积分 数学分析原理【上】】 【精准空降到 50:12】 https://www.bilibili.com/video/B ... 63b2a370&t=3012

mathe

度量空间中闭集的定义是什么？我的理解是E如果是闭集，那么对于任何点e, 如果存在无穷点列\(e_i \in E\)使得\(\lim_{i\to\infty}d(e_i,e)=0\),那么必然有\(e\in E\).
也就是是如果我们能够找到E中点列\(e_i\)以\(e\)为极限点，那么e必然在E中。
如果是这样，那么按照定义，\(d(p,E)=\inf_{e\in E}d(p,e)=0\)必然代表\(p \in E\)

jiewenji

mathe 发表于 2025-7-17 17:27
度量空间中闭集的定义是什么？我的理解是E如果是闭集，那么对于任何点e, 如果存在无穷点列\(e_i \in E\)使 ...

你说的对。我也是这么想的。但是哪种情况下\(p \notin E \)的情况下d(p,E)不一定大于零呢？

mathe

看闭集如何定义。不过按我观点，既然说明度量空间，就应该按距离来定义，那么就没什么好说的，这就是按定义直接得出的结论，这样的p是不存在的