可否推广一下拉马努金的立方和恒等式

wayne

拉马努金 有一个恒等式.
如果
\[\begin{aligned}
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n &= \frac{1+53x+9x^2}{1-82x-82x^2+x^3}\\
\sum_{n=0}^\infty b_n x^n &= \frac{2-26x-12x^2}{1-82x-82x^2+x^3}\\
\sum_{n=0}^\infty c_n x^n &= \frac{2+8x-10x^2}{1-82x-82x^2+x^3}\\
d_n &= (-1)^n
\end{aligned}\tag{1}
\]
那么 $a_n^3+b_n^3 = c_n^3 + (-1)^n$

我的问题是,可否借此启发,进一步推广, 求一下 $x^3+y^3+z^3 =n $, 参考链接: https://math.stackexchange.com/q ... m-of-cubes-identity

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其实这三个数列 都是同一个 差分方程 $a(n) = 82*a(n-1)+82*a(n-2)-a(n-3)$, 只是选择的初始值不同.
所以我们似乎可以循着这个思路走下去, 就是如何寻找这种 三阶差分方程, 又该如何 选择三种不同的初始值,使得 三个数列的同一项 之间存在 特定的关系,比如立方和 恒为1.

https://oeis.org/A050791
https://oeis.org/A050787

northwolves

Infinitely many Ramanujan-type sum of cubes and unimodular matrices?