3-smooth numbers 折线是否自交？

hujunhua

A0035863-smooth numbers: numbers of the form 2^x*3^y with x, y >= 0.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888

按2^x·3^y从小到大的顺序将点(x,y)连接起来，就得到一条无穷折线，问这条折线是否自交？

或者，将0≤x≤a, 0≤y≤b范围内的的点(x,y)按2^x·3^y从小到大的顺序连接起来折线是否自交？

hujunhua

mathe

不相交，因为xlog(2)+ylog(3)严格递增

wayne

自交意味着 存在一点(x,y),使得导函数有两个值.  
如mathe所言, 设 $xlog(2)+ylog(3)=a$, 求导,$log(2)+y’log(3)=0$,解此方程, 只可能有一个值, 故不存在自交.

hujunhua

可以把这条平面折线画到三维平面z=x log(2) + y log(3) 上（第一卦限），由于平面上直线段线性单调，故而折线总是单调上升的。
所以空间折线不可能自交。3#和4#，应该都是证明了这一点。
但主帖问题实质是问：这条空间折线在xoy平面上的投影是否自交。
3#和4#，貌似不足以证明投影问题。