求等边三角形另外两部分的面积？

nyy

现在已知两部分的面积，求另外两部分的面积？

northwolves

设黄三角形的下面的角t,易知

$\frac{63+210}{210}=sin \left(\frac{\pi }{3}\right)/\left(\sin \left(\frac{2 \pi }{3}-t) \cos (t)}  \rightarrowt=arctan\sqrt{\frac{27}{25}}$,三角形边长为$\frac{4 \sqrt{91}}{\sqrt{\sqrt3}$

$x=41,y=50$

northwolves

$\frac{63}{210}=\frac{\tan \left(\frac{\pi }{3}-\theta\right)}{\tan (\theta)},\frac{y}{210}=\frac{\tan \left(\theta-\frac{\pi }{6}\right)}{\tan \left(\frac{\pi }{2}-\theta\right)}, 0<\theta<\frac{\pi }{3}$

$\theta=arctan\sqrt{\frac{25}{27}},y=50$

王守恩

设蓝三角形下面的角=a。

\(\frac{\sin(30^\circ+a)\cos(30^\circ-a)}{\sin(30^\circ-a)\cos(30^\circ+a)}=\frac{210}{63}=\frac{10}{3}\)

\(\frac{\sin(30^\circ+a)}{\sin(30^\circ-a)}=\frac{5}{2}=\frac{10+y}{3+x}\)

\(\frac{\sin(a)}{\cos(30^\circ+a)}=\frac{1}{3}=\frac{x+y}{10+3}\)

补充内容 (2025-8-21 15:23):
5/2=(210+y)/(63+x),1/3=(x+y)/(210+63),

nyy

northwolves 发表于 2025-7-26 21:46
$\frac{63}{210}=\frac{\tan \left(\frac{\pi }{3}-\theta\right)}{\tan (\theta)},\frac{y}{210}=\frac{ ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*两角正切值,得到两角相加后的正切值*)
   
3. tan[x_,y_]:=((x+y)/(1-x*y))
   
4. (*联立方程组求解问题*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     tan[a/b,d/b]==Tan[60Degree],(*两个角相加等于60°*)
   
7.     tan[b/d,c/d]==Tan[60Degree],(*两个角相加等于60°*)
   
8.     a*b/2==63,(*三角形面积公式*)
   
9.     b*d/2==210,(*三角形面积公式*)
   
10.     e==Sqrt[b^2+d^2],(*等边三角形边长*)
    
11.     a>0,b>0,c>0,d>0,e>0(*限制变量范围*)
    
12. },{a,b,c,d,e}]//Simplify
    
13. (*求出x与y的面积*)
    
14. x=1/2*e*(b+c)*Sin[ArcTan[a/b]]-63
    
15. y=c*d/2
    
16. angle=d/b(*角的正切值*)
    
17. (*代入方程组求解结果,并且努力化简*)
    
18. out={x,y,angle}/.ans//FullSimplify
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{a\to 3^{3/4} \sqrt{7},b\to 6 \sqrt[4]{3} \sqrt{7},c\to \frac{10 \sqrt[4]{3}}{\sqrt{7}},d\to \frac{10 \sqrt{7}}{\sqrt[4]{3}},e\to \frac{4 \sqrt{91}}{\sqrt[4]{3}}\right\}\right\}\]
x与y与正切d/b的值
\[\left(
\begin{array}{ccc}
41 & 50 & \frac{5}{3 \sqrt{3}} \\
\end{array}
\right)\]