哥德巴赫偶数链

wayne

hujunhua 发表于 2025-8-27 11:39
按现在的计算结果，去重规则2， a(n)=1,1,2,3,9,47,172,417,1895,11132,48244, 253212, 1105764, 5391200,  ...

如果刨除了1的话，就是

1. 1,0,1
   
2. 2,2,0
   
3. 3,4,0
   
4. 4,2,2
   
5. 5,12,2
   
6. 6,54,0
   
7. 7,182,0
   
8. 8,288,32
   
9. 9,1520,64
   
10. 10,13200,0
    
11. 11,44352,0
    
12. 12,150360,3904
    
13. 13,1075888,28504
    
14. 14,3491344,0
    
15. 15,21504144,0
    
16. 16,167248080,2733104
    
17. 17,503864480,7309872
    

复制代码

hujunhua

编程计算哪些有环，哪些无环。只判断，不计数。纯素数的我的电脑只能算到n=20(相当于楼上的n=18)


结果还没有打破规律.
包含1的我只能算到n=17, 也没有打破规律。

hujunhua

2#这样的子图中，奇顶点数等于0或者2的连通图存在环或者链，这样的图且称为有解图。
从环或者链可以还原它所来自的图，从而导向源于同一个有解图其它的链或者环。
从这个意义上看，来自同一个有解图的链或者环是等价的。
于是且记有解图的数量为c(n).
    纯素数的情况（从6开始），程序算得c(n)的前几项为：1, 1, 2, 2, 4, 6, 12, 14, 34, 114, 246, 384, 1140, 1614, ....
包括 1 和素数时（从2开始），程序算得c(n)的前几项为：1, 1, 2, 3, 6, 12, 30, 42, 102, 258, 702, 1800, 4584, 9822, 31740, 48186,...

hujunhua

既然有解图是递增的，并且这么多，那就可以加强条件，抽取更简单的解。比如要求两个素数不同，也就是3+3，5+5这样的不要。这就是删去了图中的自环。
对于包含1和素数和情况，可以从4开始，2=1+1的去留不影响存在性。
对于纯素数的情况，可以从8开始，6=3+3的去留本身就不影响存在性。
先看看含1的情况。
有解图的数量c(n): {1, 1, 1, 2, 3, 4, 7, 17, 43, 74, 194, 305, 716, 2350, 3594, 9394, ...}
解的数量a(n):
a(1)=1, {4}={1+3}
a(2)=1, {4, 6}={3+1,1+5}
a(3)=1, {4, 6, 8}={3+1, 1+5, 5+3}(环)，
a(4)=4, {4,6,8,10}={3+1, 1+5, 5+3, 3+7}, {8, 6 , 4 , 10}={3+5, 5+1, 1+3, 3+7}, {6,4,10,8}={5+1,1+3,3+7,7+1}, {6,8,10,4}={5+1,1+7,7+3,3+1}
a(5)=14, {4,6,8,10,12}={3+1, 1+5, 5+3, 3+7, 7+5},...来自以下3图

a(6)=24，来自以下4图


没料到MMa 输出的图这么大

hujunhua

再来看看不含1（纯素数相加）的情况
有解图的数量c(n): {1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 6, 18, 22, 42, 126, 180, 396, 1296, 1080, 2592, ...}
解的数量a(n): {1, 1, 1, 2, 8, 18, ...}

8~18的有解图

8~20的有解图

mathe

hujunhua 发表于 2025-8-26 12:53
@wayne 计算到16, 显示 n=4k, 4k+1时有环。但是我觉得这不会是普遍规律，事关素数，不可能这么简单、规整。 ...

如果对于 n 存在一个扩展哥德巴赫回路\(p_1,p_2,...,p_n\), 则
\(2+4+6+...+(2n)=2(p_1+p_2+...+p_n)\)
即 `n(n+1)=2(p_1+p_2+...+p_n)`
注意到 \(2p_i≡2\pmod4\)，可见右式≡2n(mod4), 于是
`n(n+1)≡2n\pmod4`→\(n\equiv 0,1 \pmod 4\)。

对于非扩展的哥德巴赫回路，则要求
\(6+8+10+...+(2n+4)=2(p_1+p_2+...+p_n)\)
即 `n(n+5)≡2n\pmod4`→\(n\equiv 0,1 \pmod 4\)。

wayne

扩展的情况就是在\(2+4+6+...+(2n)=2(p_1+p_2+...+p_n),p_1=1\) 的基础上  $\ul{2+4+}6+...+(2n)=2(\ul{1+}p_1+p_2+...+p_n) , p_1>1$
也就是相差$2*2=4$,不改变结论。

hujunhua

那么像14#规定的不带自环的情况，扩展的从4，非扩展的从8开始，哥德巴赫回路只出现在n≡0, 3(mod4)处。

这只是必要条件，不是充分条件。

非扩展的情况，14#给出的较小解中，n=4处已出现不存在哥德巴赫回路的情况。它的 4 解来自以下 2 图：


扩展的情况也已经在n=4处出现不存在哥德巴赫回路的情况. 它的 2 解来自下图



虽然只是必要条件，但是单看必要条件处，环的数量却是严格单调递增的，如果把有环视为常态，无环视为反常，则越往后越不容易出现反常。
所以，作为合情猜想，对于较大的偶数，必要条件也是充分条件。