这道小学题目硬做，怎么做？

nyy

小学生的做法是做出黄色的三角形，
然后六边形是黄色三角形面积的六倍，
黄色三角形的面积=6+12-8=10，
但是我估计我想不到这个小学生的做法，
我只能硬做，硬做又不会！

nyy

目前我的思路是平面解析几何，
知道了，三个点就知道了，三角形的面积，
假设出六边形的边长，
这样就能得到六边形各个顶点的坐标，
再假设出六边形内点的坐标，
这样是三个未知数，
用三个面积列三个方程，
解方程组得到答案。
应该还是比较麻烦的

Jack315

如图设边长为 a ，G 点坐标为 (x, y) 。
可求得：
\(BG=\sqrt{(\frac{1}{2}a-x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a+y)^2}\)
\(AG=\sqrt{(\frac{1}{2}a+x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a+y)^2}\)
\(FG=\sqrt{(a+x)^2+y^2}\)
\(EG=\sqrt{(\frac{1}{2}a+x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a-y)^2}\)
由海伦公式可求得：
\(S_{\Delta AGB}=\frac{a}{4}(\sqrt{3}a+2y)\)
\(S_{\Delta AGF}=\frac{a}{4}(\sqrt{3}a+\sqrt{3}x+y)\)
\(S_{\Delta FGE}=\frac{a}{4}(\sqrt{3}a+\sqrt{3}x-y)\)
由此得：
\(S_{\Delta AGB}+S_{\Delta FGE}-S_{\Delta AGF}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

gxqcn

从正多边形内部汇聚点，向各顶点引线段，将其划分成多个三角形，其面积可以建立很多等式，解方程即可。
可参见：https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 24940&fromuid=8

nyy

gxqcn 发表于 2025-8-28 20:56
从正多边形内部汇聚点，向各顶点引线段，将其划分成多个三角形，其面积可以建立很多等式，解方程即可。
可 ...

我要详细的过程

gxqcn

借用 3# 图中所示的字母标注，记：
\(S_1=S_{\triangle\text{GBA}}=12\)
\(S_2=S_{\triangle\text{GAF}}=8\)
\(S_3=S_{\triangle\text{GFE}}=6\)
\(S_4=S_{\triangle\text{GED}}\)
\(S_5=S_{\triangle\text{GDC}}\)
\(S_6=S_{\triangle\text{GCB}}\)
\(S=S_{\text{ABCDEF}}\)

6的真因子有1,2,3；由 4# 所给链接，可得：
\(S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6=S\)
\(S_1+S_3+S_5=S_2+S_4+S_6\color{gray}{=S/2}\)
\(S_1+S_4=S_2+S_5=S_3+S_6\color{gray}{=S/3}\)

联立方程，很容易解出：\(S=6(S_1+S_3-S_2)=60\)