寻找合适的模型拟合给定的数据

KeyTo9_Fans

我经过长时间计算得到的两列数据如下：

1.      x      y
   
2.      1 0.59274605
   
3.      2 0.58620243
   
4.      3 0.57498716
   
5.      4 0.56713131
   
6.      5 0.56168319
   
7.      6 0.55775209
   
8.      7 0.55480183
   
9.      8 0.55251393
   
10.      9 0.55069046
    
11.     10 0.54920490
    
12.     11 0.54797209
    
13.     12 0.54693280
    
14.     13 0.54604542
    
15.     14 0.54527865
    
16.     15 0.54460965
    
17.     16 0.54402113
    
18.     20 0.54223730
    
19.     24 0.54103321
    
20.     32 0.53951142
    
21.     40 0.53859030
    
22.     64 0.53719589
    
23.    2^7 0.53602405
    
24.   2^11 0.53491670
    
25.   2^15 0.53484716
    
26.   2^30 0.53484262

复制代码

虽然这两列数据具有物理背景，但我想抛开这些物理背景，单纯地用数学方法去寻找合适的模型y=f(x)去拟合这些数据

要求f的参数个数合适，即不欠拟合也不过拟合，拟合误差要足够小（10的-7次方级别）

这样的f(x)应该如何去构造？

uk702

不太好朦，尤其不知序列是否收敛于 0.53..... 。

data={{1, 0.59274605}, {2, 0.58620243}, {3, 0.57498716}, {4, 0.56713131}, {5, 0.56168319}, {6, 0.55775209}, {7, 0.55480183}, {8, 0.55251393}, {9, 0.55069046}, {10, 0.54920490}, {11, 0.54797209}, {12, 0.54693280}, {13, 0.54604542}, {14, 0.54527865}, {15, 0.54460965}, {16, 0.54402113}, {20, 0.54223730}, {24, 0.54103321}, {32, 0.53951142}, {40, 0.53859030}, {64, 0.53719589}, {2^7, 0.53602405}, {2^11, 0.53491670}, {2^15, 0.53484716}, {2^30, 0.53484262}};

（* 一个相对简单的形式 *)
fx3=FindFit[data, a+b*Log[17.0+c*x^v]^u, {{a, 0.59}, {b, 0.7}, {u, -2.34}, {v, 2.22}, {c, 1.0}}, {x}]
结果：{a -> 0.534157, b -> 0.858322, u -> -2.51265, v -> 2.0756, c -> 1.15862}
errors=((a+b*Log[17.0+c*x^v]^u)/.fx3/.x->data[[All, 1]])-data[[All, 2]]; maxError=Max[errors]
结果：0.000739861

fx3=FindFit[data, a+b*Log[w+x^v]^u+k*1/Log[Log[c+x]], {{a, 0.54}, {b, 0.25}, {u, -1.19}, {v, 2.52}, {w, 14.3}, {k, -0.03}, {c, 20.0}}, {x}]
结果：{a->0.54477, b->0.209415, u->-0.778989, v->3.42432, w->21.3901, k->-0.0533429, c->53.5703}
errors=((a+b*Log[w+x^v]^u+k*1/Log[Log[c+x]])/.fx3/.x->data[[All, 1]])-data[[All, 2]]
maxError=Max[errors]
结果：0.000459543

fx3 = FindFit[data, a + b*Log[w + x^v]^u + k*1/Log[Log[c + x]] + p/x^o, {{a, 0.54}, {b, 0.25}, {u, -1.19}, {v, 2.52}, {w, 14.3}, {k, -0.03}, {c, 20.0}, {p, 1.0}, {o, 10.0}}, {x}]
结果：{a -> 0.544909, b -> 0.176867, u -> -0.99092, v -> 2.10872, w -> 6.49134, k -> -0.0431531, c -> 34.9894, p -> -0.00674056, o -> 914.492}
errors=((a + b*Log[w + x^v]^u + k*1/Log[Log[c + x]] + p/x^o)/.fx3/.x->data[[All, 1]])-data[[All, 2]]; maxError=Max[errors]
结果：0.000053361

Jack315

顶楼中数据的图形：

从图中可以看出：
x 应取对数，并在水平方向作平移：\(x_1=\log_2x-n\) ；
y 在垂直方向作镜像，并作平移：\(y_1=m-y\) 。
这时，图形的形状与函数 \(\tanh(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\) 或 \(sigmoid(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}\) 比较吻合。
选择拟合 \(\tanh(t)\) 函数：
\(y_1=a\tanh(bx_1)\rightarrow m-y=a\tanh[b(\log_2x-n)]\rightarrow y=m-a\tanh[b(\log_2x-n)]\)
拟合结果如下图所示：

模型参数：
\(\begin{matrix}a = 0.034170538174903&&b=0.478462022444302\\m=0.569776240335495&&n=1.877485670809697\end{matrix}\)
拟合优度：
\(\begin{matrix}R^2=0.997005400121391&&R_{Adj}^2=0.996577600138732\end{matrix}\)
模型残差：

残差的形状看起来像一个按指数规律衰减的三角函数，但这种振荡在 \(x\ge2^{11}\) 之后似乎消失了。
所以能不能在\(x\ge100\) 的区间再增加一些样本点？
由于振荡曲线只有 3 个极值点和 4 个零点，即使强行拟合一个按指数规律衰减的三角函数，对模型的改善或也比较有限。
如果 x 能取小数，希望在 \(0\le x\le 5\) 这个区间也再增加一些样本点。
另外能否提供 \(x=0\) 处的样本点？这个点对建模或许有一定的指导作用。
新增的样本点在横轴上 (x) 按指数规律分布会比较有帮助，在有细节变化处适当增加更多样本点。