a^2+b^2+c^2=d^2（0<a<b<c<d） 恰好有44组正整数解

mathe

O. Fraser and B. Gordon, On representing a square as the sum of three squares, Amer. Math. Monthly, 76 (1969), 922-923.
这篇文章有人能找到吗？

lsr314

找到一个文献On the Number of Representations of the Square of an Integer as the Sum of Three Squares

lsr314

一个类似的问题： A375335 :a(n) is the smallest positive integer whose square can be represented as the sum of n distinct nonzero squares in exactly n ways, or -1 if no such integer exists.

前几项是1, 1, 25, 23, 17. 目前a(5)还未知，即找一个整数n，使$n^2$恰好有5种方式表示为5个互不相同的正整数的平方和。

1. f[m_] := Length[  Select[PowersRepresentations[m^2, 5, 2], (FreeQ[#, 0] && # == Union[#]) &]]

复制代码

前100项是0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 6, 7, 13, 7, 16, 14, 21, 21, 27, 24, 31, 35, 43, 43, 60, 51, 66, 61, 88, 83, 105, 91, 137, 116, 124, 140, 185, 143, 195, 187, 233, 197, 266, 220, 317, 283, 318, 317, 371, 331, 433, 404, 476, 450, 529, 427, 620, 543, 616, 612, 735, 611, 742, 735, 864, 803, 954, 783, 1080, 905, 1053, 1038, 1269, 1038, 1314, 1222, 1331, 1265, 1545, 1309, 1733, 1521, 1615, 1553, 1951, 1607, 2037, 1834, 2145, 2001, 2216, 1959, 2538

看这个数列的增长速度，似乎也是不存在。

mathe

现在根据前面的估计公式，只需要计算到300,000项，就可以确保10000项以内没有找到的都是无解了，由此我们可以提交到A374805中了

1. (16:15) gp > solve(x=10,10^20,x/8-2*x^0.75-10000)
   
2. %23 = 268974.60060487191995397568614516513661

复制代码

代码很简单

1. #include <vector>
   
2. #include <stdio.h>
   
3. #include <math.h>
   
4. #include <iostream>
   
5. #include <gmpxx.h>
   
6. #include <map>
   
7. #include <vector>
   
8. #include <numeric>
   
9. #include <algorithm>
   
10. 
    
11. 
    
12. #define LUP 300000L
    
13. #define LUB 10000
    
14. char *notprime;
    
15. int *qlist;
    
16. int *lp;
    
17. int qc;
    
18. long c[LUB];
    
19. 
    
20. #define ISPRIME(x) (!notprime[x])
    
21. #define UNSETPRIME(x) (notprime[x]=1)
    
22. 
    
23. struct PF{
    
24.      int pi;
    
25.      int pc;
    
26.      bool operator<(const PF& pf)const{
    
27.          if(pi>pf.pi)return true;//sort in reverse order
    
28.          if(pi<pf.pi)return false;
    
29.          return pc<pf.pc;
    
30.      }
    
31. };
    
32. 
    
33. struct PData{
    
34.     int x,y;
    
35. };
    
36. 
    
37. std::vector<PF> factors[2*LUP];
    
38. typedef std::map<long, std::vector<PData> > PMAP;
    
39. #define LIMIT 5
    
40. 
    
41. void mergefactors(std::vector<PF>& pf1, const std::vector<PF>& pf2)
    
42. {
    
43.     std::vector<PF> out;
    
44.     int i,j;
    
45.     for(i=0,j=0;i<pf1.size()&&j<pf2.size();){
    
46.         if(pf1[i].pi==pf2[j].pi){
    
47.             PF y;
    
48.             y.pi=pf1[i].pi;
    
49.             y.pc=pf1[i].pc+pf2[j].pc;
    
50.             out.push_back(y);
    
51.             i++;j++;
    
52.         }else if(pf1[i].pi>pf2[j].pi){
    
53.             out.push_back(pf1[i]);
    
54.             i++;
    
55.         }else{
    
56.             out.push_back(pf2[j]);
    
57.             j++;
    
58.         }
    
59.     }
    
60.     for(;i<pf1.size();i++){
    
61.             out.push_back(pf1[i]);
    
62.     }
    
63.     for(;j<pf2.size();j++){
    
64.             out.push_back(pf2[j]);
    
65.     }
    
66.     pf1=out;
    
67. }
    
68. 
    
69. void getfactors(long x, std::vector<PF>& pf)
    
70. {
    
71.     int pc=0;
    
72.     int curp=-1;
    
73.     if(x==0)return;
    
74.     while(lp[x]>=0){
    
75.         if(lp[x]==curp){
    
76.             pc++;
    
77.         }else{
    
78.             if(curp>=0){
    
79.                    PF y;
    
80.                    y.pi=curp;
    
81.                    y.pc=pc;
    
82.                    pf.push_back(y);
    
83.             }
    
84.             pc=1;
    
85.             curp=lp[x];
    
86.         }
    
87.         x/=qlist[lp[x]];
    
88.     }
    
89.     if(pc>0){
    
90.         PF y;
    
91.         y.pi=curp;
    
92.         y.pc=pc;
    
93.         pf.push_back(y);
    
94.     }
    
95. }
    
96. 
    
97. 
    
98. void initprime()
    
99. {
    
100.     qlist=(int *)malloc(2*LUP*sizeof(int));
     
101.     lp=(int *)malloc(2*LUP*sizeof(int));
     
102.     notprime=(char *)malloc(2*LUP*sizeof(char));
     
103.     memset(notprime,0,2*LUP*sizeof(char));
     
104.     UNSETPRIME(0);
     
105.     UNSETPRIME(1);
     
106.     long i,j;
     
107.     for(i=2;i<2*LUP;i++){
     
108.         if(!ISPRIME(i))continue;
     
109.         {
     
110.             qlist[qc++]=i;
     
111.         }
     
112.         for(j=i*i;j<2*LUP;j+=i){
     
113.             UNSETPRIME(j);
     
114.         }
     
115.     }
     
116.     for(i=0;i<2*LUP;i++)lp[i]=-1;
     
117.     for(i=0;i<qc;i++){
     
118.         for(j=qlist[i];j<2*LUP;j+=qlist[i]){
     
119.             lp[j]=i;
     
120.         }
     
121.     }
     
122.     for(i=2;i<2*LUP;i++){
     
123.         getfactors(i,factors[i]);
     
124.     }
     
125. }
     
126. 
     
127. long getsc(long c, long d)
     
128. {
     
129.     int i;
     
130.     bool is_sqr=1;
     
131.     std::vector<PF> pf1, pf2;
     
132.     pf1=factors[d+c];
     
133.     mergefactors(pf1,factors[d-c]);
     
134.     long r=1;
     
135.     for(i=0;i<pf1.size();i++){
     
136.         long p=qlist[pf1[i].pi];
     
137.         if((pf1[i].pc&1)==1)is_sqr=0;
     
138.         if(p%4==3&&(pf1[i].pc&1)==1)return 0;
     
139.         if(p%4==1){
     
140.                 r*=pf1[i].pc+1;
     
141.         }
     
142.     }
     
143.     if(is_sqr)r--;
     
144.     return r;
     
145. }
     
146. 
     
147. long gete2(long x, long y)
     
148. {
     
149.         std::vector<PF> p1=factors[x-y];
     
150.         std::vector<PF>& p2=factors[x+y];
     
151.         mergefactors(p1,p2);
     
152.         long prod=1;
     
153.         for(int i=0;i<p1.size();i++){
     
154.                 long pm=qlist[p1[i].pi];
     
155.                 if((pm&1)==0)continue;
     
156.                 if(pm%4==3){
     
157.                         if(p1[i].pc&1)return 0;
     
158.                 }else{
     
159.                         prod*=p1[i].pc+1;
     
160.                 }
     
161.         }
     
162.         return prod;
     
163. }
     
164. 
     
165. long gete(long x)
     
166. {
     
167.         std::vector<PF>& fac=factors[x];
     
168.         long prod=1;
     
169.         for(int i=0;i<fac.size();i++){
     
170.                 long pm = qlist[fac[i].pi];
     
171.                 if((pm&1)==0)continue;
     
172.                 if(pm%4==3){
     
173.                         if(fac[i].pc&1)return 0;
     
174.                 }else{
     
175.                         prod*=fac[i].pc+1;
     
176.                 }
     
177.         }
     
178.         return prod;
     
179. }
     
180. 
     
181. std::map<long ,long > rmap;
     
182. 
     
183. long getr(long d)
     
184. {
     
185.         std::vector<PF>& fac=factors[d];
     
186.         long prod=1;
     
187.         int i;
     
188.         for(i=0;i<fac.size();i++){
     
189.                 long p=qlist[fac[i].pi];
     
190.                 if((p&1)==0)continue;
     
191.                 int h;
     
192.                 long pm=1;
     
193.                 for(h=0;h<fac[i].pc;h++)pm*=p;
     
194.                 if(p%4==3){
     
195.                         prod*=pm+2*(pm-1)/(p-1);
     
196.                 }else{
     
197.                         prod*=pm;
     
198.                 }
     
199.         }
     
200.         return prod;
     
201. }
     
202. 
     
203. long gets(long d)
     
204. {
     
205.         std::vector<PF>& fac=factors[d];
     
206.         long prod=1;
     
207.         for(int i=0;i<fac.size();i++){
     
208.                 long p=qlist[fac[i].pi];
     
209.                 int m=p%8;
     
210.                 if(m!=1&&m!=3)continue;
     
211.                 prod*=2*fac[i].pc+1;
     
212.         }
     
213.         return prod;
     
214. }
     
215. 
     
216. long gett(long d)
     
217. {
     
218.         std::vector<PF>& fac=factors[d];
     
219.         long prod=1;
     
220.         for(int i=0;i<fac.size();i++){
     
221.                 long p=qlist[fac[i].pi];
     
222.                 int m=p%4;
     
223.                 if(m!=1)continue;
     
224.                 prod*=2*fac[i].pc+1;
     
225.         }
     
226.         return prod;
     
227. }
     
228. 
     
229. int main()
     
230. {
     
231.     long d;
     
232.     initprime();
     
233.     memset(c,-1,sizeof(c));
     
234.     for(d=1;d<LUP;d+=2){
     
235.         long r=getr(d);
     
236.         long s=gets(d);
     
237.         long t=gett(d);
     
238.         long f=(r-2*s-2*t+3)/8;
     
239.         if(f<LUB&&c[f]<0){
     
240.                 c[f]=d;
     
241.         }
     
242.     }
     
243.     for(d=1;d<LUB;d++){
     
244.             printf("%ld %ld\n",d,c[d]);
     
245.     }
     
246.     return 0;
     
247. }
     

复制代码

wayne

mathe 发表于 2025-10-10 15:27
O. Fraser and B. Gordon, On representing a square as the sum of three squares, Amer. Math. Monthly,  ...

下载下来了.
10.2307@2317949.pdf (291.34 KB, 下载次数: 8)

4 天前 上传

点击文件名下载附件

northwolves

这个公式很强：(a² + b² + c² + d²)² = (a² + b² - c² - d²)² + (2ac + 2bd)² + (2ad - 2bc)²

mathe

这个就是欧拉四平方数公式
\((a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=(ax+by+cz+dw)^2+(ay-bx+cw-dz)^2+(az-bw-cx+dy)^2+(aw+bz-cy-dx)^2\)
其中取\(x=a,y=b,z=-c,w=-d\)